КОМПЛЕ́КСНОЕ ЧИСЛО́

КОМПЛЕ́КСНОЕ ЧИСЛО́, чис­ло ви­да $x+iy$, где $x$ и $y$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, а $i $ – т. н. мни­мая еди­ни­ца (ве­ли­чи­на, квад­рат ко­то­рой ра­вен –1); $x $ на­зы­ва­ет­ся дей­ст­ви­тель­ной ча­стью, а $y$ – мни­мой ча­стью чис­ла $z=x+iy$ (обыч­но дей­ст­ви­тель­ную часть чис­ла $z$ обо­зна­ча­ют $\text{Re} z$, а мни­мую – $\text{Im}z$). При $y=0$ К. ч. $z$ счи­та­ют сов­па­даю­щим с дей­ст­ви­тель­ным чис­лом $x$. При $x=0, y≠0$ чис­ло $z$ на­зы­ва­ет­ся чис­то мни­мым. К. ч. $x+iy$ и $x-iy$ на­зы­ва­ют­ся ком­плекс­но со­пря­жён­ны­ми. Ариф­ме­тич. дей­ст­вия над К. ч. про­из­во­дят­ся по пра­ви­лам дей­ст­вий над мно­го­чле­на­ми с ис­поль­зо­ва­ни­ем ра­вен­ст­ва $i^2=–1$. Свой­ст­ва дей­ст­вий над К. ч. та­кие же, как и над дей­ст­ви­тель­ны­ми чис­ла­ми, но для К. ч. по­ня­тия «боль­ше» и «мень­ше» не име­ют смыс­ла.

Лю­бое урав­не­ние $x^n+a_1x^{n-1}+ ...+a_n=0$, где $a_1,...,a_n$ – К. ч., име­ет в мно­же­ст­ве К. ч. $n$ кор­ней (с учё­том их крат­но­сти).

Гео­мет­ри­че­ски К. ч. $z=x+iy$ изо­бра­жа­ет­ся точ­кой ($x,y$) в ком­плекс­ной плос­ко­сти. Ес­ли по­ляр­ные ко­ор­ди­на­ты точ­ки ($x,y$) обо­зна­чить $r $ и $\varphi$, т. е. $r=\sqrt {x^2+y^2}$ – мо­дуль чис­ла $z$ (его обозна­ча­ют $\big |z\big|$), а $\varphi$ – его ар­гу­мент, то $z=x+iy$ мож­но пред­ста­вить в три­го­но­мет­рич. фор­ме  ($z=r (\cos\ φ+i \sin \ φ)$. Три­го­но­мет­рич. фор­ма удоб­на для ум­но­же­ния К. ч. и из­вле­че­ния кор­ней, по­сколь­ку $$r(\cos\varphi+i \sin \varphi)\cdot \rho(\cos\psi+i \sin \psi)=r\rho(\cos(\varphi+\psi)+i \sin (\varphi+\psi));$$$$\sqrt[n]{r(\cos \varphi)+i \sin \varphi})=\sqrt[n]r \bigg(\cos\bigg(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n}\bigg)+i \sin \bigg(\frac {\varphi}{n}+\frac{2 \pi k}{n}\bigg)\bigg), \\k=0,1,..., n-1. $$ 

Уже в древ­но­сти в не­ко­то­рых за­да­чах стал­ки­ва­лись с квад­рат­ны­ми кор­ня­ми из от­ри­ца­тель­ных чи­сел, та­кие за­да­чи счи­та­лись не­раз­ре­ши­мы­ми. Пер­вые обос­но­ва­ния про­стей­ших дей­ст­вий с К. ч. по­яви­лись в 16 в., но дол­гое вре­мя к ним от­но­си­лись с на­сто­ро­жен­но­стью. За­да­ча об из­вле­че­нии кор­ня сте­пе­ни $n$ из дан­но­го чис­ла бы­ла в осн. ре­ше­на в ра­бо­тах А. де Му­ав­ра (1707, 1724) и англ. ма­те­ма­ти­ка Р. Ко­те­са (1722). Тер­мин «К. ч.» ввёл (1803) Л. Кар­но, но в упот­реб­ле­ние тер­мин во­шёл по­сле ра­бот К. Га­ус­са (1831). Ши­ро­кое рас­про­стра­не­ние К. ч. по­лу­чи­ли к кон. 18 в., зна­чит. роль сыг­ра­ло ис­тол­ко­ва­ние их как то­чек ком­плекс­ной плос­ко­сти. Ис­поль­зо­ва­ние К. ч. при­да­ло за­кон­чен­ный вид мн. раз­де­лам ма­те­ма­тич. ана­ли­за. К. ч. ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся в фи­зи­ке и тех­ни­ке (в гид­ро­ди­на­ми­ке, аэ­ро­ди­на­ми­ке, элек­тро­тех­ни­ке, атом­ной фи­зи­ке и пр.). В тех­нич. лит-ре мни­мую еди­ни­цу час­то обо­зна­ча­ют $j$.