НЕ́ПЕРОВО ЧИСЛО́

НЕ́ПЕРОВО ЧИСЛО́ (чис­ло $e$), пре­дел, к ко­то­ро­му стре­мят­ся чис­ла $(1+1/n)^n$ при не­ог­ра­ни­чен­ном воз­рас­та­нии $n$:$$e=\lim_{n \rightarrow \infty}\biggl({1+\frac {1}{n}}\biggr)^n=2,718\:281\:828\:459\:045\:\dots;$$яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем на­ту­раль­ных ло­га­риф­мов. Су­ще­ст­во­ва­ние это­го пре­де­ла ус­та­нов­ле­но Д. Бер­нул­ли (1728), обо­зна­че­ние $e$ пред­ло­же­но Л. Эй­ле­ром (1736), транс­цен­дент­ность чис­ла $e$ ус­та­нов­ле­на Ш. Эр­ми­том (1873). На­зва­ние чис­ла $e$ по име­ни Дж. Не­пе­ра ма­ло­обос­но­ван­но, по­сколь­ку он ис­поль­зо­вал ос­но­ва­ние ло­га­риф­мов, ко­то­рое от­ли­ча­лось от это­го чис­ла.

Функ­ция $e^x, -\infty < x < \infty$, бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­ма, все её про­из­вод­ные сов­па­да­ют с $e^x$. Для лю­бо­го дей­ст­ви­тель­ного $x$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во  $\int_{-\infty}^{x} e^udu = e^x$.