ЧИСЛО́

ЧИСЛО́, важ­ней­шее по­ня­тие ма­те­ма­ти­ки, ко­то­рое ис­поль­зу­ет­ся для ко­ли­че­ст­вен­но­го опи­са­ния разл. объ­ек­тов и про­цес­сов. Воз­ник­нув в про­стей­шем ви­де ещё в пер­во­быт­ном об­ще­ст­ве, по­ня­тие Ч. из­ме­ня­лось на про­тя­же­нии ве­ков, по­сте­пен­но обо­га­ща­ясь со­дер­жани­ем по ме­ре рас­ши­ре­ния сфе­ры че­ло­ве­че­ской дея­тель­но­сти и свя­зан­но­го с ним рас­ши­ре­ния кру­га во­про­сов, тре­бо­вав­ше­го ко­ли­че­ст­вен­но­го опи­са­ния и ис­сле­до­ва­ния.

По­ня­тие на­ту­раль­но­го Ч., вы­зван­ное по­треб­но­стью счё­та пред­ме­тов, воз­ник­ло ещё в дои­сто­рич. вре­ме­на. На низ­шей сту­пе­ни раз­ви­тия пер­во­быт­но­го об­ще­ст­ва по­ня­тие от­вле­чён­но­го чис­ла от­сут­ст­во­ва­ло. В соз­на­нии пер­во­быт­но­го че­ло­ве­ка ещё не сфор­ми­ро­ва­лось то об­щее, что есть в объ­ек­тах та­ко­го ро­да, как, напр., «три че­ло­ве­ка», «три озе­ра» и т. д. Ис­точ­ни­ком воз­ник­но­ве­ния по­ня­тия от­вле­чён­но­го чис­ла яв­ля­ет­ся при­ми­тив­ный счёт пред­ме­тов, за­клю­чаю­щий­ся в со­пос­тав­ле­нии пред­ме­тов дан­ной кон­крет­ной со­во­куп­но­сти с пред­ме­та­ми не­ко­то­рой оп­ре­де­лён­ной со­во­куп­но­сти, иг­раю­щей как бы роль эта­ло­на. У боль­шин­ст­ва на­ро­дов пер­вым та­ким эта­ло­ном яв­ля­ют­ся паль­цы («счёт на паль­цах»), что под­твер­жда­ет­ся язы­ко­вед­че­ским ана­ли­зом на­зва­ний пер­вых чи­сел. На этой сту­пе­ни Ч. ста­но­вит­ся от­вле­чён­ным, не за­ви­ся­щим от ка­че­ст­ва счи­тае­мых объ­ек­тов.

С раз­ви­ти­ем пись­мен­но­сти воз­мож­но­сти за­пи­си Ч. зна­чи­тель­но рас­ши­ри­лись. Сна­ча­ла Ч. ста­ли обо­зна­чать­ся чёр­точ­ка­ми на ма­те­риа­ле, слу­жа­щем для за­пи­си. За­тем бы­ли вве­де­ны дру­гие зна­ки для боль­ших Ч. Ва­ви­лон­ские кли­но­пис­ные обо­зна­че­ния Ч., так же как и со­хра­нив­шие­ся до на­ших дней рим­ские циф­ры, яс­но сви­де­тель­ст­ву­ют имен­но об этом пу­ти фор­ми­ро­ва­ния обо­зна­че­ний для Ч. Круп­ным ша­гом впе­рёд бы­ло изо­бре­те­ние в Ин­дии по­зи­ци­он­ной сис­те­мы счис­ле­ния, по­зво­ляю­щей за­пи­сать лю­бое на­ту­раль­ное Ч. при по­мо­щи де­ся­ти зна­ков – цифр.

Важ­ным ша­гом в раз­ви­тии по­ня­тия на­ту­раль­но­го Ч. яв­ля­ет­ся осоз­на­ние бес­ко­неч­но­сти на­ту­раль­но­го ря­да Ч., т. е. по­тен­ци­аль­ной воз­мож­но­сти его бес­ко­неч­но­го про­дол­же­ния. От­чёт­ли­вое пред­став­ле­ние о бес­ко­неч­но­сти на­ту­раль­но­го ря­да встре­ча­ет­ся в тру­дах Ар­хи­ме­да и Евк­ли­да. С раз­ви­ти­ем по­ня­тия на­ту­раль­но­го Ч. как ре­зуль­та­та счё­та пред­ме­тов в оби­ход вклю­ча­ют­ся дей­ст­вия над Ч. – сло­же­ние, вы­чи­та­ние, ум­но­же­ние и де­ле­ние. Лишь в мно­го­ве­ко­вом опы­те сло­жи­лось пред­став­ле­ние об от­вле­чён­ном ха­рак­те­ре этих дей­ст­вий, о не­за­ви­си­мо­сти ко­ли­че­ст­вен­но­го ре­зуль­та­та дей­ст­вия от при­ро­ды пред­ме­тов, со­став­ляю­щих со­во­куп­но­сти. На­чи­на­ет­ся раз­ви­тие нау­ки о Ч. – ариф­ме­ти­ки. В са­мом про­цес­се раз­ви­тия ариф­ме­ти­ки по­яв­ля­ет­ся по­треб­ность в изу­че­нии свойств Ч. как та­ко­вых, в вы­яс­не­нии всё бо­лее слож­ных за­ко­но­мер­но­стей в их взаи­мо­свя­зях, обу­слов­лен­ных на­ли­чи­ем дей­ст­вий. На­чи­на­ет­ся де­та­ли­за­ция по­ня­тия на­ту­раль­но­го Ч., вы­де­ля­ют­ся клас­сы чёт­ных и не­чёт­ных Ч., про­стых и со­став­ных Ч. и т. д. Изу­че­ние глу­бо­ких за­ко­но­мер­но­стей в на­ту­раль­ном ря­ду Ч. про­дол­жа­ет­ся по­ны­не и со­став­ля­ет раз­дел ма­те­ма­ти­ки, но­ся­щий назв. чи­сел тео­рии.

На­ту­раль­ные Ч., кро­ме осн. функ­ции – ха­рак­те­ри­сти­ки ко­ли­че­ст­ва пред­ме­тов, вы­пол­ня­ют ещё др. функ­цию – ха­рак­те­ри­зу­ют по­ря­док пред­ме­тов, рас­по­ло­жен­ных в ряд. Воз­ни­каю­щее в свя­зи с этой функ­ци­ей по­ня­тие по­ряд­ко­во­го Ч. (пер­вый, вто­рой и т. д.) тес­но пе­ре­пле­та­ет­ся с по­ня­ти­ем ко­ли­че­ст­вен­но­го Ч. (один, два и т. д.).

Во­прос об обос­но­ва­нии по­ня­тия на­ту­раль­но­го Ч. дол­гое вре­мя в ма­те­ма­ти­ке не ста­вил­ся. По­ня­тие на­ту­раль­но­го Ч. столь при­выч­но и про­сто, что не воз­ни­ка­ло по­треб­но­сти в его оп­ре­де­ле­нии в тер­ми­нах к.-л. бо­лее про­стых по­ня­тий. Лишь в сер. 19 в. под влия­ни­ем раз­ви­тия ак­сио­ма­тич. ме­то­да в ма­те­ма­ти­ке, с од­ной сто­ро­ны, и кри­тич. пе­ре­смот­ра ос­нов ма­те­ма­тич. ана­ли­за – с дру­гой, на­зре­ла не­об­хо­ди­мость обос­но­ва­ния по­ня­тия ко­ли­че­ст­вен­но­го на­ту­раль­но­го Ч. От­чёт­ли­вое оп­ре­де­ле­ние по­ня­тия на­ту­раль­но­го Ч. на ос­но­ве по­ня­тия мно­же­ст­ва (со­во­куп­но­сти пред­ме­тов) бы­ло да­но в 1870-х гг. в ра­бо­тах Г. Кан­то­ра. Сна­ча­ла он оп­ре­де­ля­ет по­ня­тие рав­но­мощ­но­сти со­во­куп­но­стей. Имен­но, две со­во­куп­но­сти на­зы­ва­ют­ся рав­но­мощ­ны­ми, ес­ли со­став­ляю­щие их пред­ме­ты мо­гут быть со­пос­тав­ле­ны по од­но­му. За­тем чис­ло пред­ме­тов, со­став­ляю­щих дан­ную со­во­куп­ность, оп­ре­де­ля­ет­ся как то об­щее, что име­ет дан­ная со­во­куп­ность и вся­кая дру­гая, рав­но­мощ­ная ей со­во­куп­ность пред­ме­тов, не­за­ви­си­мо от вся­ких ка­че­ст­вен­ных осо­бен­но­стей этих пред­ме­тов. Та­кое оп­ре­де­ле­ние от­ра­жа­ет сущ­ность на­ту­раль­но­го Ч. как ре­зуль­та­та счё­та пред­ме­тов, со­став­ляю­щих дан­ную со­во­куп­ность. Оп­ре­де­ле­ние, дан­ное Кан­то­ром, бы­ло от­прав­ным пунк­том для обоб­ще­ния по­ня­тия ко­ли­че­ст­вен­ной ха­рак­те­ри­сти­ки бес­ко­неч­ных мно­жеств. Дру­гое обос­но­ва­ние по­ня­тия на­ту­раль­но­го Ч. бы­ло пред­ло­же­но Дж. Пеа­но.

Ис­то­ри­че­ски пер­вым рас­ши­ре­ни­ем по­ня­тия Ч. яв­ля­ет­ся при­сое­ди­не­ние к на­ту­раль­ным Ч. дроб­ных Ч. Вве­де­ние в упо­треб­ле­ние дроб­ных Ч. свя­за­но с по­треб­но­стью про­из­во­дить из­ме­ре­ния. С раз­ви­ти­ем ариф­ме­ти­ки как нау­ки о Ч. со­зре­ва­ет идея рас­смот­ре­ния дро­бей с лю­бым на­ту­раль­ным зна­ме­на­те­лем и пред­став­ле­ние о дроб­ном Ч. как о ча­ст­ном при де­ле­нии двух на­ту­раль­ных Ч., из ко­то­рых де­ли­мое не де­лит­ся на­це­ло на де­ли­тель (см. Дробь).

Даль­ней­шие рас­ши­ре­ния по­ня­тия Ч. обу­слов­ле­ны уже не не­по­сред­ст­вен­ны­ми по­треб­но­стя­ми счё­та и из­ме­ре­ния, но яви­лись след­ст­ви­ем раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки.

Вве­де­ние от­ри­ца­тель­ных Ч. бы­ло вы­зва­но раз­ви­ти­ем ал­геб­ры как нау­ки, даю­щей об­щие спо­со­бы ре­ше­ния ариф­ме­тич. за­дач, не­за­ви­си­мо от их кон­крет­но­го со­дер­жа­ния и ис­ход­ных чи­сло­вых дан­ных. Не­об­хо­ди­мость вве­де­ния от­ри­ца­тель­ных Ч. воз­ни­ка­ет уже при ре­ше­нии за­дач, сво­дя­щих­ся к ли­ней­ным урав­не­ни­ям с од­ним не­из­вест­ным. Воз­мож­ный от­ри­ца­тель­ный от­вет в за­да­чах та­ко­го ро­да мо­жет быть ис­тол­ко­ван на при­ме­рах про­стей­ших на­прав­лен­ных ве­ли­чин (в за­да­чах, свя­зан­ных с дви­же­ни­ем, – пе­ре­дви­же­ние в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном вы­бран­но­му, в за­да­чах, свя­зан­ных с вы­чис­ле­ни­ем при­бы­ли, – долг и т. д.). В Ин­дии ещё в 6–11 вв. от­ри­ца­тель­ные Ч. сис­те­ма­ти­че­ски при­ме­ня­лись при ре­ше­нии за­дач и ис­тол­ко­вы­ва­лись в осн. так же, как и ны­не. В ев­роп. нау­ке от­ри­ца­тель­ные Ч. окон­ча­тель­но во­шли в упо­треб­ле­ние лишь с вре­ме­ни Р. Де­кар­та (17 в.), дав­ше­го гео­мет­рич. ис­тол­ко­ва­ние от­ри­ца­тель­ных Ч. как на­прав­лен­ных от­рез­ков. Соз­да­ние Де­кар­том ана­ли­тич. гео­мет­рии, по­зво­лив­шей рас­смат­ри­вать кор­ни урав­не­ния как ко­ор­ди­на­ты то­чек пе­ре­се­че­ния не­ко­то­рой кри­вой с осью абс­цисс, окон­ча­тель­но стёр­ло прин­ци­пи­аль­ное раз­ли­чие ме­ж­ду по­ло­житель­ным и от­ри­ца­тель­ным кор­ня­ми урав­не­ния.

Ч. це­лые, дроб­ные (по­ло­жи­тель­ные и от­ри­ца­тель­ные) и нуль по­лу­чи­ли об­щее на­зва­ние ра­цио­наль­ных Ч. Со­во­куп­ность ра­цио­наль­ных Ч. об­ла­да­ет свой­ст­вом замк­ну­то­сти по от­но­ше­нию к че­ты­рём ариф­ме­тич. дей­ст­ви­ям. Это зна­чит, что сум­ма, раз­ность, про­из­ве­де­ние и ча­ст­ное (кро­ме ча­ст­но­го при де­ле­нии на нуль, ко­то­рое не име­ет смыс­ла) лю­бых двух ра­цио­наль­ных Ч. яв­ля­ют­ся сно­ва ра­цио­наль­ны­ми Ч. Со­во­куп­ность ра­цио­наль­ных Ч. упо­ря­до­че­на в от­но­ше­нии по­ня­тий «боль­ше» и «мень­ше». Со­во­куп­ность ра­цио­наль­ных Ч. об­ла­да­ет свой­ст­вом плот­но­сти: ме­ж­ду дву­мя разл. ра­цио­наль­ны­ми чис­ла­ми на­хо­дит­ся бес­ко­неч­но мно­го ра­цио­наль­ных Ч. Это да­ёт воз­мож­ность при по­мо­щи ра­цио­наль­ных Ч. осу­ще­ст­в­лять из­ме­ре­ние (напр., дли­ны от­рез­ка с вы­бран­ной еди­ни­цей мас­шта­ба) с лю­бой сте­пе­нью точ­но­сти. Та­ким об­ра­зом, со­во­куп­ность ра­цио­наль­ных Ч. ока­зы­ва­ет­ся дос­та­точ­ной для удов­ле­тво­ре­ния мн. прак­тич. по­треб­но­стей.

Со­во­куп­ность ра­цио­наль­ных Ч. ока­за­лась не­дос­та­точ­ной для изу­че­ния не­пре­рыв­но из­ме­няю­щих­ся пе­ре­мен­ных ве­ли­чин. Здесь ока­за­лось не­об­хо­ди­мым но­вое рас­ши­ре­ние по­ня­тия Ч., за­клю­чаю­щее­ся в пе­ре­хо­де от мно­же­ст­ва ра­цио­наль­ных Ч. к мно­же­ст­ву дей­ст­ви­тель­ных (ве­ще­ст­вен­ных) Ч. Этот пе­ре­ход со­сто­ит в при­сое­ди­не­нии к ра­цио­наль­ным Ч. так на­зы­вае­мых ир­ра­цио­наль­ных чи­сел.

В 17 в., в пе­ри­од за­ро­ж­де­ния совр. нау­ки и, в ча­ст­но­сти, совр. ма­те­ма­ти­ки, раз­ра­ба­ты­ва­ет­ся ряд ме­то­дов изу­че­ния не­пре­рыв­ных про­цес­сов. От­чёт­ли­вое оп­ре­де­ле­ние по­ня­тия дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла да­ёт­ся И. Нью­то­ном во «Все­об­щей ариф­ме­ти­ке» (опубл. в 1707): «Под чис­лом мы по­ни­ма­ем не столь­ко мно­же­ст­во еди­ниц, сколь­ко от­вле­чён­ное от­но­ше­ние ка­кой-ни­будь ве­ли­чи­ны к дру­гой ве­ли­чи­не то­го же ро­да, при­ня­той на­ми за еди­ни­цу». Эта фор­му­ли­ров­ка да­ёт еди­ное оп­ре­де­ле­ние дей­ст­ви­тель­но­го Ч., ра­цио­наль­но­го или ир­ра­цио­наль­но­го.

В даль­ней­шем, в 1870-х гг., по­ня­тие дей­ст­ви­тель­но­го Ч. бы­ло уточ­не­но на ос­но­ве глу­бо­ко­го ана­ли­за по­ня­тия не­пре­рыв­но­сти в ра­бо­тах Р. Де­де­кин­да, Г. Кан­то­ра и К. Вей­ер­шт­рас­са.

По Де­де­кин­ду, свой­ст­во не­пре­рыв­но­сти пря­мой ли­нии за­клю­ча­ет­ся в том, что ес­ли все точ­ки, со­став­ляю­щие пря­мую, раз­бить на два клас­са так, что ка­ж­дая точ­ка пер­во­го клас­са ле­жит ле­вее ка­ж­дой точ­ки вто­ро­го клас­са («ра­зо­рвать» пря­мую на две час­ти), то ли­бо в пер­вом клас­се су­ще­ст­ву­ет са­мая пра­вая точ­ка, ли­бо во вто­ром клас­се – са­мая ле­вая точ­ка, т. е. точ­ка, по ко­то­рой про­изо­шёл «раз­рыв» пря­мой.

Со­во­куп­ность всех ра­цио­наль­ных Ч. свой­ст­вом не­пре­рыв­но­сти не об­ла­да­ет. Так бу­дет, напр., ес­ли в пер­вый класс от­не­сти все от­ри­ца­тель­ные ра­цио­наль­ные Ч., нуль и все по­ло­жи­тель­ные ра­цио­наль­ные Ч., квад­рат ко­то­рых мень­ше двух, а во вто­рой – все по­ло­жи­тель­ные ра­цио­наль­ные Ч., квад­рат ко­то­рых боль­ше двух. Та­кое де­де­кин­до­во се­че­ние на­зы­ва­ет­ся ир­ра­цио­наль­ным. За­тем да­ёт­ся сле­дую­щее оп­ре­де­ле­ние ир­ра­цио­наль­но­го Ч.: ка­ж­до­му ир­ра­цио­наль­но­му се­че­нию в со­во­куп­но­сти ра­цио­наль­ных Ч. со­пос­тав­ля­ет­ся ир­ра­цио­наль­ное Ч., ко­то­рое счи­та­ет­ся бо́льшим, чем лю­бое Ч. пер­во­го клас­са, и мень­шим, чем лю­бое Ч. вто­ро­го клас­са. Со­во­куп­ность всех дей­ст­ви­тель­ных Ч. (ра­цио­наль­ных и ир­ра­цио­наль­ных) уже об­ла­да­ет свой­ст­вом не­пре­рыв­но­сти.

Обос­но­ва­ние Г. Кан­то­ра по­ня­тия дей­ст­ви­тель­но­го Ч. от­ли­ча­ет­ся от обос­но­ва­ния Р. Де­де­кин­да, но так­же ос­но­вы­ва­ет­ся на ана­ли­зе по­ня­тия не­пре­рыв­но­сти.

За­клю­чи­тель­ным эта­пом в раз­ви­тии по­ня­тия Ч. яви­лось вве­де­ние ком­плекс­ных Ч. По-ви­ди­мо­му, впер­вые идея ком­плекс­но­го Ч. воз­ник­ла в 16 в. (итал. учё­ные Р. Бом­бел­ли, Дж. Кар­да­но) в свя­зи с от­кры­ти­ем ал­геб­ра­ич. ре­ше­ния урав­не­ний 3-й и 4-й сте­пе­ней. Из­вест­но, что уже ре­ше­ние квад­рат­но­го урав­не­ния ино­гда при­во­дит к дей­ст­вию из­вле­че­ния квад­рат­но­го кор­ня из от­ри­ца­тель­но­го Ч., не­вы­пол­ни­мо­му в об­лас­ти дей­ст­ви­тель­ных Ч. Но это про­ис­хо­дит толь­ко в слу­чае, ес­ли урав­не­ние не име­ет дей­ст­ви­тель­ных кор­ней. Прак­тич. за­да­ча, при­во­дя­щая к ре­ше­нию та­ко­го квад­рат­но­го урав­не­ния, ока­зы­ва­ет­ся не имею­щей ре­ше­ния. С от­кры­ти­ем ал­геб­ра­ич. ре­ше­ния урав­не­ний 3-й сте­пе­ни об­на­ру­жи­лось сле­дую­щее уди­ви­тель­ное об­стоя­тель­ст­во. Как раз в том слу­чае, ко­гда все три кор­ня урав­не­ния яв­ля­ют­ся дей­ст­ви­тель­ны­ми Ч., по хо­ду вы­чис­ле­ний ока­зы­ва­ет­ся не­об­хо­ди­мо вы­пол­нить дей­ст­вие из­вле­че­ния квад­рат­но­го кор­ня из от­ри­ца­тель­но­го Ч. Воз­ни­каю­щая при этом «мни­мость» ис­че­за­ет толь­ко по вы­пол­не­нии всех по­сле­дую­щих дей­ст­вий. Это об­стоя­тель­ст­во яви­лось пер­вым сти­му­лом к рас­смот­ре­нию ком­плекс­ных Ч. Од­на­ко ком­плекс­ные Ч. и дей­ст­вия над ни­ми с тру­дом при­ви­ва­лись в дея­тель­но­сти ма­те­ма­ти­ков. Ос­тат­ки не­до­ве­рия к за­кон­но­сти поль­зо­ва­ния ими от­ра­жа­ют­ся в со­хра­нив­шем­ся до на­ших дней тер­ми­не «ком­плекс­ное Ч.». Это не­до­ве­рие рас­сея­лось лишь по­сле ус­та­нов­ле­ния в кон. 18 в. гео­мет­рич. ис­тол­ко­ва­ния ком­плекс­ных Ч. в ви­де то­чек на плос­ко­сти и ус­та­нов­ле­ния не­со­мнен­ной поль­зы от вве­де­ния ком­плекс­ных Ч. в тео­рии ал­геб­ра­ич. урав­не­ний, осо­бен­но по­сле ра­бот К. Га­ус­са. Ещё до Га­ус­са в ра­бо­тах Л. Эй­ле­ра ком­плекс­ные Ч. ста­ли иг­рать су­ще­ст­вен­ную роль не толь­ко в ал­геб­ре, но и в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе. Эта роль ста­ла ис­клю­чи­тель­но боль­шой в 19 в. в свя­зи с раз­ви­ти­ем тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го.

Со­во­куп­ность всех ком­плекс­ных Ч. об­ла­да­ет, так же как со­во­куп­ность дей­ст­ви­тель­ных Ч. и со­во­куп­ность ра­цио­наль­ных Ч., свой­ст­вом замк­ну­то­сти по от­но­ше­нию к дей­ст­ви­ям сло­же­ния, вы­чи­та­ния, ум­но­же­ния и де­ле­ния. Бо­лее то­го, со­во­куп­ность всех ком­плекс­ных Ч. об­ла­да­ет свой­ст­вом ал­геб­ра­ич. замк­ну­то­сти, за­клю­чаю­щей­ся в том, что ка­ж­дое ал­геб­ра­ич. урав­не­ние с ком­плекс­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми име­ет кор­ни сно­ва в об­лас­ти всех ком­плекс­ных Ч. Как ус­та­нов­ле­но К. Вей­ер­шт­рас­сом, со­во­куп­ность всех ком­плекс­ных Ч. не мо­жет быть да­лее рас­ши­ре­на за счёт при­сое­ди­не­ния но­вых Ч. так, что­бы в рас­ши­рен­ной со­во­куп­но­сти со­хра­ни­лись все за­ко­ны дей­ст­вий, имею­щие ме­сто в со­во­куп­но­сти ком­плекс­ных чи­сел.