ДРОБЬ

ДРОБЬ ариф­ме­ти­че­ская (по­ло­жи­тель­ная обык­но­вен­ная дробь), ве­ли­чи­на, со­держа­щая це­лое чис­ло до­лей еди­ни­цы. Д. изо­бра­жа­ет­ся сим­во­лом $\frac{m}{n}$ или $m/n$, где на­ту­раль­ное (т. е. це­лое по­ло­жи­тель­ное) чис­ло $n$ на­зы­ва­ет­ся зна­ме­на­те­лем Д. и по­ка­зы­ва­ет (зна­ме­ну­ет), на сколь­ко до­лей раз­де­ля­ет­ся еди­ни­ца, а на­ту­раль­ное чис­ло $m$, на­зы­вае­мое чис­ли­те­лем, по­ка­зы­ва­ет, сколь­ко та­ких час­тей со­дер­жит дан­ная Д., са­ма Д. на­зы­ва­ет­ся ча­ст­ным от де­ле­ния чис­ла $m$ на чис­ло $n$. Ес­ли $m$ де­лит­ся на­це­ло на $n$, то ча­ст­ное $m/n$ яв­ля­ет­ся це­лым чис­лом (напр., 6/3=2, 33/11=3), в про­тив­ном слу­чае ча­ст­ное $m/n$ на­зы­ва­ет­ся дроб­ным чис­лом (напр., 3/7, 20/12).

Д. $m/n$ не ме­ня­ет­ся, ес­ли её чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ум­но­жить на од­но и то же на­ту­раль­ное чис­ло. Бла­го­да­ря это­му лю­бые две Д. $m/n$ и $p/q$ мож­но при­вес­ти к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, т. е. за­ме­нить $m/n$ и $p/q$ на рав­ные им Д., имею­щие один и тот же зна­ме­на­тель. Кро­ме то­го, Д. мож­но со­кра­щать, по­де­лив её чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на од­но и то же на­ту­раль­ное чис­ло (ес­ли чис­ли­тель и зна­ме­на­тель де­лят­ся на­це­ло на это чис­ло), по­это­му вся­кую Д. мож­но пред­ста­вить в ви­де не­со­кра­ти­мой Д., т. е. та­кой, у ко­то­рой чис­ли­тель и зна­ме­на­тель не име­ют об­щих де­ли­те­лей; напр., ¹⁶/₇₂ яв­ля­ется со­кра­ти­мой Д., по­сколь­ку $\frac{16}{72}=\frac{2\cdot 8}{9\cdot 8}=\frac{2}{9}$, а $\frac{27}{64}$ – не­со­кра­ти­мой Д.

Сум­ма и раз­ность Д. $a/b$ и $c/b$ с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми оп­ре­де­ля­ют­ся по пра­ви­лу $$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b},$$

в слу­чае раз­но­сти пред­по­ла­га­ет­ся, что $a>c$. Что­бы сло­жить или вы­честь Д. с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, на­до пред­ва­ри­тель­но при­вес­ти их к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. Обыч­но в ка­че­ст­ве об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей $a/b$ и $c/d$ бе­рёт­ся наи­мень­шее об­щее крат­ное чи­сел $b$ и $d$ или их про­из­ве­де­ние. Ум­но­же­ние и де­ле­ние Д. про­из­во­дят­ся по пра­ви­лам

Д. $a/b$ на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной, ес­ли её чис­ли­тель мень­ше зна­ме­на­те­ля, и не­пра­виль­ной в про­тив­ном слу­чае. Не­пра­виль­ная Д. мо­жет быть пред­став­ле­на в ви­де т. н. сме­шан­но­го чис­ла, т. е. в ви­де сум­мы це­ло­го чис­ла и пра­виль­ной Д. Для это­го на­до чис­ли­тель раз­де­лить (с ос­тат­ком) на зна­ме­на­тель и за­пи­сать без про­бе­ла ча­ст­ное и пра­виль­ную дробь, яв­ляю­щую­ся ча­ст­ным от де­ле­ния ос­тат­ка на зна­ме­на­тель. Напр., $$\frac{91}{17}=\frac{5\cdot 17+6}{17}=5+\frac{6}{17}=5\frac{6}{17}$$

На­ря­ду с по­ло­жи­тель­ны­ми обык­но­вен­ны­ми Д. в ариф­ме­ти­ке рас­смат­ри­ва­ют­ся Д. $p/q$, где $p$ и $q$ – це­лые чис­ла лю­бо­го зна­ка и $q≠0$. Та­кие Д. со­став­ля­ют мно­же­ст­во ра­цио­наль­ных чи­сел. О не­пре­рыв­ных (цеп­ных) Д. см. Не­пре­рыв­ная дробь.

Опе­ра­ции над Д. встре­ча­ют­ся в др.-­егип. па­пи­ру­се Ах­ме­са (ок. 200 до н. э.), где счи­та­ют­ся до­пус­ти­мы­ми толь­ко Д. ви­да $1/n$, $n$ – на­ту­раль­ное чис­ло. Та­кие Д. на­зы­ва­ют­ся али­к­вот­ны­ми, и ста­вит­ся за­да­ча о пред­став­ле­нии лю­бой Д. сум­мой не рав­ных ме­ж­ду со­бой Д. ви­да $1/n$; напр., 7 /₂₉ мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы 1 /₅+ 1 /₂₉+ 1 /₁₄₅. В др.-ва­ви­лон­ских па­мят­ни­ках пись­мен­но­сти встре­ча­ют­ся т. н. сек­са­ге­зи­маль­ные Д., т. е. Д., зна­ме­на­те­ли ко­то­рых суть сте­пе­ни чис­ла 60; де­ле­ние еди­ни­цы на 60 и 3600=60² час­тей со­хра­ни­лось до на­ше­го вре­ме­ни в де­ле­нии ча­са или гра­ду­са на 60 ми­нут и ка­ж­дой ми­ну­ты на 60 се­кунд. Совр. обо­зна­че­ние Д., по-ви­ди­мо­му, впер­вые по­яви­лось у древ­них ин­дий­цев. В ев­роп. ма­те­ма­ти­ку тер­мин «Д.» вве­дён Фи­бо­нач­чи (1202) по­сле его зна­ком­ст­ва с тру­да­ми араб. ма­те­ма­ти­ков. Тер­ми­ны «чис­ли­тель» и «зна­ме­на­тель» встре­ча­ют­ся у Мак­си­ма Пла­ну­да.