ДРОБЬ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДРОБЬ арифметическая (положительная обыкновенная дробь), величина, содержащая целое число долей единицы. Д. изображается символом $\frac{m}{n}$ или $m/n$, где натуральное (т. е. целое положительное) число $n$ называется знаменателем Д. и показывает (знаменует), на сколько долей разделяется единица, а натуральное число $m$, называемое числителем, показывает, сколько таких частей содержит данная Д., сама Д. называется частным от деления числа $m$ на число $n$. Если $m$ делится нацело на $n$, то частное $m/n$ является целым числом (напр., 6/3=2, 33/11=3), в противном случае частное $m/n$ называется дробным числом (напр., 3/7, 20/12).
Д. $m/n$ не меняется, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число. Благодаря этому любые две Д. $m/n$ и $p/q$ можно привести к общему знаменателю, т. е. заменить $m/n$ и $p/q$ на равные им Д., имеющие один и тот же знаменатель. Кроме того, Д. можно сокращать, поделив её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число (если числитель и знаменатель делятся нацело на это число), поэтому всякую Д. можно представить в виде несократимой Д., т. е. такой, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей; напр., 16/72 является сократимой Д., поскольку $\frac{16}{72}=\frac{2\cdot 8}{9\cdot 8}=\frac{2}{9}$, а $\frac{27}{64}$ – несократимой Д.
Сумма и разность Д. $a/b$ и $c/b$ с одинаковыми знаменателями определяются по правилу $$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b},$$
в случае разности предполагается, что $a>c$. Чтобы сложить или вычесть Д. с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Обычно в качестве общего знаменателя дробей $a/b$ и $c/d$ берётся наименьшее общее кратное чисел $b$ и $d$ или их произведение. Умножение и деление Д. производятся по правилам
Д. $a/b$ называется правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. Неправильная Д. может быть представлена в виде т. н. смешанного числа, т. е. в виде суммы целого числа и правильной Д. Для этого надо числитель разделить (с остатком) на знаменатель и записать без пробела частное и правильную дробь, являющуюся частным от деления остатка на знаменатель. Напр., $$\frac{91}{17}=\frac{5\cdot 17+6}{17}=5+\frac{6}{17}=5\frac{6}{17}$$
(читается пять целых шесть семнадцатых). Д., знаменатель которой есть (натуральная) степень числа 10, называется десятичной дробью. Такую Д. обычно пишут без знаменателя, напр.:$$\frac{5481475}{10000}=548,1475,\quad \frac{23}{1000}=0,023.$$
Наряду с положительными обыкновенными Д. в арифметике рассматриваются Д. $p/q$, где $p$ и $q$ – целые числа любого знака и $q≠0$. Такие Д. составляют множество рациональных чисел. О непрерывных (цепных) Д. см. Непрерывная дробь.
Операции над Д. встречаются в др.-егип. папирусе Ахмеса (ок. 200 до н. э.), где считаются допустимыми только Д. вида $1/n$, $n$ – натуральное число. Такие Д. называются аликвотными, и ставится задача о представлении любой Д. суммой не равных между собой Д. вида $1/n$; напр., 7 /29 можно представить в виде суммы 1 /5+ 1 /29+ 1 /145. В др.-вавилонских памятниках письменности встречаются т. н. сексагезимальные Д., т. е. Д., знаменатели которых суть степени числа 60; деление единицы на 60 и 3600=602 частей сохранилось до нашего времени в делении часа или градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Совр. обозначение Д., по-видимому, впервые появилось у древних индийцев. В европ. математику термин «Д.» введён Фибоначчи (1202) после его знакомства с трудами араб. математиков. Термины «числитель» и «знаменатель» встречаются у Максима Плануда.