ДЕСЯТИ́ЧНАЯ ДРОБЬ

ДЕСЯТИ́ЧНАЯ ДРОБЬ, дробь, зна­ме­на­тель ко­то­рой есть це­лая сте­пень чис­ла 10. Д. д. пи­шут без зна­ме­на­те­ля, от­де­ляя за­пя­той (ино­гда точ­кой) в чис­ли­те­ле спра­ва столь­ко цифр, сколь­ко ну­лей со­дер­жит­ся в зна­ме­на­те­ле; ес­ли ве­ли­чи­на дро­би мень­ше еди­ни­цы, то пе­ред за­пя­той ста­вит­ся нуль. Напр., 123/10 = 12,3; 123/1000 = 0,123. Для по­ло­жи­тель­ной Д. д. при­ня­та за­пись $$a_ka_{k-1} \dots a_1a_0,\quad b_1b_2 \dots b_n,\quad\tag{1}$$где $0 \leq a_i$, $b_j \lt 10$, $i=0, 1, \dots, k$, $j=1,2,\dots,n$ – це­лые чис­ла, при­чём ес­ли $k\neq 0$, то и $a_k \neq0$. Под за­пи­сью $(1)$ по­ни­ма­ет­ся чис­ло, рав­ное $$a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+\ldots+a_110+a_0+\frac{b_1}{10}+\frac{b_2}{100}+\ldots+\frac{b_n}{10^n}.$$Циф­ры $b_1,b_2, \dots,b_n$, стоя­щие по­сле за­пя­той, на­зы­ва­ют­ся де­ся­тич­ны­ми зна­ка­ми. 

Бес­ко­неч­ной Д. д. на­зы­ва­ет­ся за­пись ви­да $$a,\quad b_1b_2\dots,\quad\tag{2}$$где $a$ – це­лое чис­ло, а ка­ж­дое из чи­сел $b_j$, $j=1,2, \dots,$ при­ни­ма­ет од­но из зна­че­ний $0,1,2,\dots,9$. Лю­бое по­ло­жи­тель­ное дей­ст­ви­тель­ное чис­ло $\alpha$ яв­ля­ет­ся суммой ря­да $$\alpha=a+\sum_{k=1}^\infty \frac{b_k}{10^k}.$$Ча­ст­ные сум­мы ря­да $(2)$, ко­неч­ные Д. д. $a,b_1 \dots b_n$, яв­ля­ют­ся при­бли­жён­ны­ми зна­че­ния­ми чис­ла $\alpha$ с не­дос­тат­ком, а чис­ла $$a,\quad b_1 \dots b_n+ \frac {1}{10^n}$$при­бли­жён­ны­ми зна­че­ния­ми $\alpha$ с из­быт­ком. Ес­ли су­ще­ст­ву­ют та­кие чис­ла $n$ и $m$, что для всех $i>n$ име­ют ме­сто ра­вен­ст­ва $b_i=b_{i+m}$, то бес­ко­неч­ная Д. д. на­зы­ва­ет­ся пе­рио­ди­че­ской, а чис­ло $m$ – пе­рио­дом. Вся­кую ко­неч­ную Д. д. мож­но рас­смат­ри­вать как бес­ко­неч­ную пе­рио­дич. дробь с $b_i=0$ для $i>n$ с пе­рио­дом $1$. Ес­ли $\alpha$ – ра­цио­наль­ное чис­ло, то со­от­вет­ст­вую­щая ему дробь $(2)$ яв­ля­ет­ся пе­рио­ди­че­ской. Для ир­ра­цио­наль­но­го чис­ла $\alpha$ дробь $(2)$ не яв­ля­ет­ся пе­рио­ди­че­ской.

От­ри­ца­тель­ные чис­ла так­же пред­став­ля­ют­ся в ви­де Д. д., пе­ред ко­то­ры­ми ста­вит­ся знак ми­нус.

Д. д. при­ме­ня­лись уже в 14–15 вв. Узб. учё­ный аль-Ка­ши опи­сал сис­те­му Д. д. в 1427. В Ев­ро­пе Д. д. ввёл в упот­реб­ле­ние С. Сте­вин (1584). В рус. лит-ре уче­ние о Д. д. пер­вым из­ло­жил Л. Ф. Маг­ниц­кий в «Ариф­ме­ти­ке» (1703). С по­мо­щью бес­ко­неч­ных Д. д. К. Вей­ер­шт­рас­сом во 2-й пол. 19 в. бы­ла по­строе­на од­на из стро­гих тео­рий дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.