НЕПРЕРЫ́ВНАЯ ДРОБЬ

НЕПРЕРЫ́ВНАЯ ДРОБЬ, цеп­ная дробь, од­на из форм пред­став­ле­ния чи­сел и функ­ций. Н. д. на­зы­ва­ет­ся вы­ра­же­ние ви­да $$\begin{matrix} a_0 + \cfrac{1}{a_1+ \cfrac{1}{a_2+ \cfrac{1}{a_3+}}} & & & \\ & \ddots & & \\ & & \cfrac{1} {a_n+} & \\ & & & \ddots, \end{matrix}\tag1$$где $a_0$ – це­лое чис­ло, $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ – на­ту­раль­ные чис­ла, на­зы­вае­мые не­пол­ны­ми ча­ст­ны­ми или эле­мен­та­ми дан­ной Н. д. К Н. д., пред­став­ляю­щей чис­ло $α$, мож­но прий­ти, за­пи­сы­вая это чис­ло в ви­де $α=a_0+1/α_1$, где $a_0$ – це­лое чис­ло и $0<1/α_1<1$, за­тем за­пи­сы­вая в та­ком же ви­де $α_1$ и т. д. Чис­ло эле­мен­тов Н. д. мо­жет быть ко­неч­ным или бес­ко­неч­ным; в за­ви­си­мо­сти от это­го Н. д. на­зы­ва­ет­ся ко­неч­ной или бес­ко­неч­ной. Н. д. (1) час­то сим­во­ли­че­ски за­пи­сы­ва­ют как$$\begin{matrix}[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots] \\ \text {(бесконечная Н. д.)} \end {matrix}\tag2$$или$$\begin{matrix}[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_n] \\ \text {(конечная Н. д.)} \end {matrix}\tag3$$

Ко­неч­ная Н. д. все­гда пред­став­ля­ет со­бой ра­цио­наль­ное чис­ло; об­рат­но, ка­ж­дое ра­цио­наль­ное чис­ло мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де ко­неч­ной Н. д. (3); та­кое пред­став­ле­ние един­ст­вен­но, ес­ли по­тре­бо­вать, что­бы $a_n≠ 1$. Н. д. $[a_0; a_1,a_2,\dots,a_k],\; k⩽n$, за­пи­сан­ную в ви­де не­со­кра­ти­мой дро­би $p_k/q_k$, на­зы­ва­ют под­хо­дя­щей дро­бью по­ряд­ка $k$ дан­ной Н. д. (2). Чис­ли­те­ли и зна­ме­на­те­ли под­хо­дя­щих дро­бей свя­за­ны ре­кур­рент­ны­ми фор­му­ла­ми$$p_{k+1}=a_{k+1}p_k+p_{k-1},\\ q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1},$$ ко­то­рые слу­жат ос­но­вой всей тео­рии Н. д. Из этих фор­мул вы­те­ка­ет важ­ное со­от­но­ше­ние $$p_kq_{k+1}-q_kp_{k+1}=±1.$$

Для ка­ж­дой бес­ко­неч­ной Н. д. су­ще­ст­ву­ет пре­дел$$\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{p_k}{p_k}=\alpha,$$на­зы­вае­мый зна­че­ни­ем дан­ной Н. д. Ка­ж­дое ир­ра­цио­наль­ное чис­ло $α$ яв­ля­ет­ся зна­че­ни­ем един­ст­вен­ной бес­ко­неч­ной Н. д., по­лу­чае­мой раз­ло­же­ни­ем $α$ ука­зан­ным вы­ше об­ра­зом, напр. $(e-1)/2=[0;1,6,10,14,18,\dots]; \: \sqrt{2}=[1;2,2,\dots]$, квад­ра­тич­ные ир­ра­цио­наль­но­сти раз­ла­га­ют­ся в пе­рио­дич. не­пре­рыв­ные дро­би.

Осн. зна­че­ние Н. д. для при­ло­же­ний за­клю­ча­ет­ся в том, что под­хо­дя­щие дро­би яв­ля­ют­ся наи­луч­ши­ми при­бли­же­ния­ми чис­ла $α$, т. е. для лю­бой дру­гой дро­би $m/n$, зна­ме­на­тель ко­то­рой не пре­вос­хо­дит $q_k$, име­ет ме­сто не­ра­вен­ст­во $∣nα-m∣>∣q_kα-p_k∣$; при этом $∣q_kα-p_k∣< 1/q_{k+1}$. Не­чёт­ные под­хо­дя­щие дро­би боль­ше $α$, а чёт­ные – мень­ше. При воз­рас­та­нии $k$ не­чёт­ные под­хо­дя­щие дро­би убы­ва­ют, а чёт­ные воз­рас­та­ют.

Н. д. ис­поль­зу­ют­ся для при­бли­же­ния ир­ра­цио­наль­ных чи­сел ра­цио­наль­ны­ми. Напр., из­вест­ные при­бли­же­ния ²²/₇, ³⁵⁵/₁₁₃ для чис­ла $π$ суть под­хо­дя­щие дро­би для раз­ло­же­ния $π$ в Н. д. С по­мо­щью Н. д. бы­ло по­лу­че­но пер­вое до­ка­за­тель­ст­во ир­ра­цио­наль­но­сти чи­сел $e$ и $π$ (нем. ма­те­ма­тик И. Лам­берт, 1766). Ж. Лиу­вилль до­ка­зал (1844), что для лю­бо­го ал­геб­ра­ич. чис­ла $α$ сте­пе­ни $n$ мож­но ука­зать та­кую по­сто­ян­ную $λ$, что для лю­бой дро­би $x/y$ вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во $∣α-x/y∣> λ/y^n$. С по­мо­щью Н. д. мож­но по­стро­ить чис­ла $α$ та­кие, что $∣α-p_k/q_k∣$ де­ла­ет­ся мень­ше $λ/q_k$, ка­кую бы по­сто­ян­ную $λ$ мы ни взя­ли. Так, ис­поль­зуя Н. д., мож­но стро­ить транс­цен­дент­ные чис­ла.

Не­дос­тат­ком Н. д. яв­ля­ет­ся чрез­вы­чай­ная труд­ность ариф­ме­тич. дей­ст­вий над ни­ми, рав­но­силь­ная прак­тич. не­воз­мож­но­сти этих дей­ст­вий; напр., зная эле­мен­ты двух Н. д., нель­зя сколь-ни­будь про­сто по­лу­чить эле­мен­ты их сум­мы или про­из­ве­де­ния.

Н. д. встре­ча­ют­ся в 16 в. у итал. ма­те­ма­ти­ка Р. Бом­бел­ли. В 17 в. Н. д. изу­чал Дж. Вал­лис; ряд важ­ных свойств Н. д. от­крыл Х. Гюй­генс, за­ни­мав­ший­ся ими в свя­зи с тео­ри­ей зуб­ча­тых ко­лёс. В 18 в. боль­шой влад в тео­рию Н. д. внёс Л. Эй­лер. В 19 в. П. Л. Че­бы­шев, А. А. Мар­ков и др. при­ме­ня­ли Н. д., эле­мен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся мно­го­чле­ны, к изу­че­нию ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов.