МЕТАМАТЕМА́ТИКА

МЕТАМАТЕМА́ТИКА, тео­рия до­ка­за­тельств, в ши­ро­ком смыс­ле – ме­та­те­о­рия ма­те­ма­ти­ки. Наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ным яв­ля­ет­ся из­ло­жен­ное ни­же бо­лее спе­циаль­ное по­ни­ма­ние тер­ми­на «М.», иду­щее от Д. Гиль­бер­та.

Ин­тен­сив­ное раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки в 19 в. и су­ще­ст­во­ва­ние па­ра­док­сов (ан­ти­но­мий) в ло­ги­ке и в мно­жеств тео­рии сде­ла­ли ак­ту­аль­ной на ру­бе­же 19 и 20 вв. за­да­чу пе­ре­строй­ки ос­но­ва­ний ма­те­ма­ти­ки и ло­ги­ки на ос­но­ве, ис­клю­чаю­щей по­яв­ле­ние про­ти­во­ре­чий. Про­грам­ма т. н. ло­ги­циз­ма пре­ду­смат­ри­ва­ла для этой це­ли све­де­ние ма­те­ма­ти­ки к ло­ги­ке с по­мо­щью ак­сио­ма­ти­че­ско­го ме­то­да. Пред­ста­ви­те­ли ма­те­ма­тич. ин­туи­цио­низ­ма (см. Ин­туи­ти­визм) пред­ла­га­ли столь ра­ди­каль­но пе­ре­смот­реть со­дер­жа­ние са­мо­го по­ня­тия «ма­те­ма­ти­ка», что­бы аб­ст­рак­ции клас­сич. ма­те­мати­ки, с ко­то­ры­ми свя­за­но по­яв­ле­ние ан­ти­но­мий, бы­ли ис­клю­че­ны. Вы­дви­ну­тая Д. Гиль­бер­том кон­цеп­ция ма­те­ма­тич. фор­ма­лиз­ма, с од­ной сто­ро­ны, от­ка­зы­ва­лась от т. н. ло­ги­ци­стич. ил­лю­зий о воз­мож­но­сти обос­но­ва­ния ма­те­ма­ти­ки пу­тём её све­де­ния к ло­ги­ке, а с дру­гой – не раз­де­ля­ла скеп­си­са по от­но­ше­нию к воз­мож­но­стям ак­сио­ма­тич. по­строе­ния удов­ле­тво­ри­тель­ной в ло­гич. от­но­ше­нии ма­те­ма­ти­ки.

Для ис­поль­зо­ва­ния ак­сио­ма­тич. под­хо­да пре­ж­де все­го нуж­на бы­ла по­сле­до­ва­тель­ная фор­ма­ли­за­ция под­ле­жа­щих обос­но­ва­нию ма­те­ма­тич. тео­рий (ак­сио­ма­ти­че­ской тео­рии мно­жеств, ак­сио­ма­тич. ариф­ме­ти­ки), т. е. пред­став­ле­ние их в ви­де фор­маль­ных сис­тем, для ко­то­рых сле­ду­ет оп­ре­де­лить по­ня­тия ак­сио­мы (фор­му­лы не­ко­то­ро­го спец. ви­да), вы­во­да (по­сле­до­ва­тель­но­сти фор­мул, ка­ж­дая из ко­то­рых по­лу­ча­ет­ся из пре­ды­ду­щих по стро­го фик­си­ро­ван­ным пра­ви­лам вы­во­да), до­ка­за­тель­ст­ва (вы­во­да из ак­си­ом) и тео­ре­мы (фор­му­лы, яв­ляю­щей­ся за­клю­чи­тель­ной фор­му­лой не­ко­то­ро­го до­ка­за­тель­ст­ва), что­бы за­тем, поль­зу­ясь не­ко­то­ры­ми «со­вер­шен­но объ­ек­тив­ны­ми» и «сто­про­цент­но на­дёж­ны­ми» со­дер­жа­тель­ны­ми ме­то­да­ми рас­су­ж­де­ний, по­ка­зать не­до­ка­зуе­мость в дан­ной фор­маль­ной тео­рии про­ти­во­ре­чия (т. е. не­воз­мож­ность си­туа­ции, при ко­то­рой её тео­ре­ма­ми ока­зы­ва­лись бы к.-л. фор­му­ла и её от­ри­ца­ние). Со­во­куп­ность та­ких «объ­ек­тив­ных» и «на­дёж­ных» ме­то­дов долж­на бы­ла со­ста­вить М. Ком­плекс ог­ра­ни­че­ний, на­ла­гае­мых на до­пус­ти­мые в М. ме­то­ды, Д. Гиль­берт ха­рак­те­ри­зо­вал как фи­ни­тизм, в ко­то­ром за­пре­ще­но ис­поль­зо­ва­ние к.-л. ссы­лок на бес­конеч­ные (ин­фи­нит­ные) со­во­куп­но­сти. Этим ог­ра­ни­че­ни­ям не удов­ле­тво­ря­ют, напр., та­кие важ­ные ме­та­те­о­ре­тич. ре­зуль­та­ты, как тео­ре­ма Гё­де­ля о пол­но­те ис­чис­ле­ния пре­ди­ка­тов и тео­ре­ма Лё­вен­хей­ма – Ско­ле­ма об ин­тер­пре­ти­руе­мо­сти лю­бой не­про­ти­во­ре­чи­вой тео­рии на об­лас­ти на­ту­раль­ных чи­сел, по­сколь­ку ис­поль­зуе­мое в них по­ня­тие об­ще­зна­чи­мо­сти фор­му­лы ис­чис­ле­ния пре­ди­ка­тов оп­ре­де­ля­ет­ся с по­мо­щью не­фи­нит­но­го пред­став­ле­ния о «со­во­куп­но­сти всех воз­мож­ных ин­тер­пре­та­ций». Од­на­ко ут­вер­жде­ния о не­про­ти­во­ре­чи­во­сти ис­чис­ле­ния вы­ска­зы­ва­ний и ис­чис­ле­ния пре­ди­ка­тов уда­лось до­ка­зать в рам­ках фи­ни­тиз­ма, хо­тя про­грам­ма Гиль­бер­та в её пол­ном ви­де ока­за­лась не­осу­ще­ст­ви­мой. Это ста­ло яс­но по­сле то­го, как К. Гё­дель по­ка­зал (1931), что ни­ка­кая не­про­ти­во­ре­чи­вая фор­ма­ли­за­ция ма­те­ма­ти­ки не мо­жет ох­ва­тить всей клас­сич. ма­те­ма­ти­ки (и да­же всей фор­маль­ной ариф­ме­ти­ки), т. к. в ней най­дут­ся т. н. не­раз­ре­ши­мые, т. е. вы­ра­зи­мые на её язы­ке, но не до­ка­зуе­мые и не оп­ро­вер­гае­мые её сред­ст­ва­ми фор­му­лы. При­ме­ром та­кой фор­му­лы яв­ля­ет­ся фор­му­ла, ут­вер­ждаю­щая свою соб­ст­вен­ную не­до­ка­зуе­мость; за­дать фор­му­лу со столь па­ра­док­саль­ной на пер­вый взгляд ин­тер­пре­та­ци­ей Гё­де­лю уда­лось с по­мо­щью пред­ло­жен­но­го им приё­ма – т. н. ариф­ме­тич. ко­ди­ро­ва­ния сим­во­лов, фор­мул и по­сле­до­ва­тель­но­стей фор­мул фор­маль­ной сис­те­мы. Гё­дель так­же до­ка­зал тео­ре­му, со­глас­но ко­то­рой не­про­ти­во­ре­чи­вость лю­бой фор­маль­ной сис­те­мы, со­дер­жа­щей ариф­ме­ти­ку на­ту­раль­ных чи­сел, не мо­жет быть до­ка­за­на сред­ст­ва­ми, фор­ма­ли­зуе­мы­ми в этой сис­те­ме.

Из тео­рем К. Гё­де­ля вы­те­ка­ет не­осу­ще­ст­ви­мость «фи­ни­ти­ст­ской» про­грам­мы Д. Гиль­бер­та, по­сколь­ку не толь­ко вся ма­те­ма­ти­ка, но да­же ариф­ме­ти­ка на­ту­раль­ных чи­сел не до­пус­ка­ют фор­ма­ли­за­ции, ко­то­рая бы­ла бы од­но­вре­мен­но пол­ной и не­про­ти­во­ре­чи­вой. Тео­ре­мы Гё­де­ля мож­но бы­ло вос­при­ни­мать как «ко­нец М.», но, сви­де­тель­ст­вуя об ог­ра­ни­чен­но­сти фи­ни­тиз­ма, фор­ма­лиз­ма и свя­зан­ной с ни­ми про­грам­мы Гиль­бер­та, а так­же ак­сио­ма­тич. ме­то­да в це­лом, эти тео­ре­мы в то же вре­мя по­слу­жи­ли мощ­ным сти­му­лом по­ис­ка средств до­каза­тельств (в ча­ст­но­сти, до­ка­за­тельств не­про­ти­во­ре­чи­во­сти) бо­лее силь­ных, чем фи­нит­ные, но в оп­ре­де­лён­ном смыс­ле кон­ст­рук­тив­ных. При­ме­ром та­ких средств яв­ля­ет­ся т. н. транс­фи­нит­ная ин­дук­ция, с по­мо­щью ко­то­рой бы­ло по­лу­че­но до­ка­за­тель­ст­во не­про­ти­во­ре­чи­во­сти ариф­ме­ти­ки (П. С. Но­ви­ков, нем. ма­те­ма­ти­ки Г. Ген­цен, В. Ак­кер­ман, К. Шют­те, П. Ло­рен­цен и др.). Др. при­ме­ром мо­жет слу­жить т. н. ульт­ра­ин­туи­цио­ни­ст­ская про­грам­ма обос­но­ва­ния ма­те­ма­ти­ки, по­зво­лив­шая по­лу­чить аб­со­лют­ное (не поль­зую­щее­ся ре­дук­ци­ей к к.-л. дру­гой сис­те­ме) до­ка­за­тель­ст­во не­про­ти­во­ре­чи­во­сти тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ной сис­те­мы ак­си­ом Цер­ме­ло – Френ­ке­ля.