АКСИО́МА

АКСИО́МА (греч. ἀξίωμα – «то, что счи­та­ет­ся до­стой­ным»; при­ня­тое по­ло­же­ние, от ἀξιόω – счи­тать дос­той­ным), ис­ход­ное ут­вер­жде­ние на­уч. тео­рии, при­ни­мае­мое без до­ка­за­тель­ст­ва. При ис­поль­зо­ва­нии ак­сио­ма­тич. под­хо­да вы­бор А. до не­ко­то­рой сте­пе­ни про­из­во­лен. Дол­гое вре­мя счи­та­лось, что А. долж­ны быть ут­вер­жде­ния, ис­тин­ность ко­то­рых ли­бо оче­вид­на, ли­бо на­дёж­но ус­та­нов­ле­на экс­пе­ри­мен­таль­но. Од­на­ко на­чи­ная с 19 в. ста­ли по­яв­лять­ся тео­рии, А. ко­то­рых тре­бо­ва­ли обос­но­ва­ния или под­твер­жде­ния тео­рия­ми, раз­ви­ты­ми на их ос­но­ве. Та­ко­вы, напр., гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го и кван­то­вая ме­ха­ни­ка. В фор­маль­ной ак­сио­ма­тич. тео­рии (в клас­сич. гиль­бер­товом по­ни­ма­нии) А. вы­ража­ют­ся фор­му­ла­ми и де­лят­ся на ло­ги­че­ские и ма­те­ма­ти­че­ские. Ло­гич. А. вы­ра­жа­ют за­ко­ны ло­ги­ки, т. е. ут­вер­жде­ния, ис­тин­ные в лю­бой ин­тер­пре­та­ции (напр., $A\&B \rightarrow A$, см. Ло­ги­че­ские опе­ра­ции), ма­те­ма­тич. А. – ут­вер­жде­ния, ис­тин­ные толь­ко в оп­ре­де­лён­ных ин­тер­пре­та­ци­ях (напр., $x·y=y·x$). В фор­маль­ных ис­чис­ле­ни­ях об­ще­го ви­да А. слу­жат не­ко­то­рые сло­ва из дан­но­го на­бо­ра сим­во­лов, а тео­ре­ма­ми – сло­ва, по­лу­чаю­щие­ся из них по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам. А. на­зы­ва­ют так­же свой­ст­ва, со­став­ляю­щие оп­ре­де­ле­ние ма­те­ма­тич. объ­ек­та. Ак­сио­ма­тич. оп­ре­де­ле­ния ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся для обоб­ще­ния ра­нее из­вест­ных ма­те­ма­тич. по­ня­тий; их ино­гда мож­но пре­вра­тить в са­мо­стоя­тель­ную фор­маль­ную тео­рию. См. так­же По­сту­лат.