ЛОГИ́ЧЕСКИЕ ОПЕРА́ЦИИ

ЛОГИ́ЧЕСКИЕ ОПЕРА́ЦИИ, спо­со­бы по­строе­ния слож­но­го вы­ска­зы­ва­ния из дан­ных вы­ска­зы­ва­ний, при ко­то­рых ис­тин­но­ст­ное зна­че­ние слож­но­го вы­ска­зы­ва­ния [оно мо­жет при­ни­мать од­но из двух зна­че­ний – «ис­ти­на» (И) или «ложь» (Л)] пол­но­стью оп­ре­де­ля­ет­ся ис­тин­но­ст­ны­ми зна­че­ния­ми ис­ход­ных вы­ска­зы­ва­ний. При­ме­ра­ми Л. о. яв­ля­ют­ся дизъ­юнк­ция, конъ­юнк­ция, им­пли­ка­ция, от­ри­ца­ние, а так­же кван­то­ры.

Дизъ­юнк­ци­ей на­зы­ва­ет­ся Л. о., за­клю­чаю­щая­ся в со­еди­не­нии дан­ных вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$ в но­вое вы­ска­зы­ва­ние «$A$ или $B$». В фор­ма­ли­зо­ван­ных язы­ках дизъ­юнк­ция вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$ обо­зна­ча­ет­ся $A\!∨\!B$ (чи­та­ет­ся: «$A$ или $B$», «име­ет ме­сто $A$ или име­ет ме­сто $B$»), $A$ и $B$ на­зы­ва­ют­ся дизъ­юнк­тив­ны­ми чле­на­ми вы­ска­зы­ва­ния $A\!∨\!B$, ∨ – зна­ком дизъ­юнк­ции. В обыч­ной ре­чи воз­мож­ны два по­ни­ма­ния сою­за «или»: в ис­клю­чаю­щем и не­ис­клю­чаю­щем смыс­ле. При пер­вом по­ни­ма­нии вы­ска­зы­ва­ние «$A$ или $B$» оз­на­ча­ет, что ис­тин­но ров­но од­но из двух вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$, при вто­ром – что ис­тин­но хо­тя бы од­но из них. В ма­тематич. ло­ги­ке тер­мин «дизъ­юнк­ция» от­но­сит­ся к ис­тол­ко­ва­нию сою­за «или» во вто­ром смыс­ле. Та­ко­му упот­реб­ле­нию дизъ­юнк­ции со­от­вет­ст­ву­ет т. н. ис­тин­но­ст­ная таб­ли­ца

Конъ­юнк­ци­ей на­зы­ва­ет­ся Л. о., за­клю­чаю­щая­ся в со­еди­не­нии двух дан­ных вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$ в но­вое вы­ска­зы­ва­ние «$A$ и $B$». В фор­ма­ли­зо­ван­ных язы­ках конъ­юнк­ция вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$ обо­зна­ча­ет­ся $A$&$B$ (а так­же $A\!∧\!B$, $A\!·\!B$, $AB$, чи­та­ет­ся: «$A$ и $B$», «име­ет ме­сто $A$ и име­ет ме­сто $B$»), $A$ и $B$ на­зы­ва­ют­ся конъ­юнк­тив­ны­ми чле­на­ми вы­ска­зы­ва­ния $A$&$B$, & – зна­ком конъ­юнк­ции. Упот­реб­ле­нию конъ­юнк­ции в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке со­от­вет­ст­ву­ет ис­тин­но­ст­ная таб­ли­ца

Из таб­ли­цы вид­но, что вы­ска­зы­ва­ние $A$ & $B$ ис­тин­но толь­ко при ис­тин­но­сти обо­их вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$.

Им­пли­ка­ци­ей на­зы­ва­ет­ся Л. о., за­клю­чаю­щая­ся в со­еди­не­нии дан­ных вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$ в но­вое вы­ска­зы­ва­ние «ес­ли $A$, то $B$». В фор­ма­ли­зо­ван­ных язы­ках им­пли­ка­ция вы­ска­зы­ва­ний $A$ и $B$ обо­зна­ча­ет­ся $A\Rightarrow B$ [а так­же $A→B, A⊃B$, чи­та­ет­ся: «ес­ли $A$, то $B$», «$A$ вле­чёт (им­пли­ци­ру­ет) $B$»]. Вы­ска­зы­ва­ние $A$ на­зы­ва­ет­ся по­сыл­кой вы­ска­зы­ва­ния $A\Rightarrow B$, а вы­ска­зы­ва­ние $B$ – его за­клю­че­ни­ем. В обыч­ной ре­чи ут­вер­жде­ние «ес­ли $A$, то $B$», как пра­ви­ло, пред­по­лага­ет на­ли­чие при­чин­ной свя­зи ме­ж­ду тем, что ут­вер­жда­ет­ся в вы­ска­зы­ва­нии $A$, и тем, что ут­вер­жда­ет­ся в вы­ска­зы­ва­нии $B$, и его ис­тин­ность за­ви­сит от смыс­ла этих вы­ска­зы­ва­ний. В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке обыч­но учи­ты­ва­ет­ся лишь ис­тин­ность или лож­ность вы­ска­зы­ва­ний, а не смысл. По­это­му им­пли­ка­ция обыч­но по­ни­ма­ет­ся в со­от­вет­ст­вии с ис­тин­но­ст­ной таб­ли­цей

Из таб­ли­цы вид­но, что вы­ска­зы­ва­ние $A\Rightarrow B$ счи­та­ет­ся лож­ным лишь в том слу­чае, ко­гда его по­сыл­ка ис­тин­на, а за­клю­че­ние лож­но. При та­ком по­ни­ма­нии ока­зы­ва­ют­ся ис­тин­ны­ми, напр., та­кие вы­ска­зы­ва­ния: «$2+2= 4 \Rightarrow \text{sin}\frac{\pi}2=1$», «$2 > 3 \Rightarrow4$ – про­стое чис­ло».

От­ри­ца­ни­ем на­зы­ва­ет­ся Л. о., в ре­зуль­та­те ко­то­рой из дан­но­го вы­ска­зы­ва­ния $A$ по­лу­ча­ет­ся но­вое вы­ска­зы­ва­ние «не $A$». В фор­ма­ли­зо­ван­ных язы­ках вы­ска­зы­ва­ние, по­лу­чаю­щее­ся в ре­зуль­та­те от­ри­ца­ния вы­ска­зы­ва­ния $A$, обо­зна­ча­ет­ся ¬$A$ (а так­же , $\bar{A}$, $A′$, чи­та­ет­ся: «не $A$», «не­вер­но, что $A$», «$A$ не име­ет мес­та»). От­ри­ца­ние в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке за­да­ёт­ся ис­тин­но­ст­ной таб­ли­цей

См. так­же Ал­геб­ра ло­ги­ки.