АКСИОМАТИ́ЧЕСКИЙ МЕ́ТОД

АКСИОМАТИ́ЧЕСКИЙ МЕ́ТОД, ме­тод по­строе­ния на­уч­ной тео­рии, при ко­то­ром вы­би­ра­ет­ся ряд ис­ход­ных ут­вер­жде­ний, на­зы­вае­мых ак­сио­ма­ми, а даль­ней­шие ут­вер­жде­ния (тео­ре­мы) по­лу­ча­ют­ся из них с по­мо­щью чис­то ло­ги­че­ских рас­суж­де­ний (до­ка­за­тельств). Клас­сич. об­ра­зец при­ме­не­ния А. м. – из­ло­жен­ная в «На­ча­лах» Евк­ли­да (ок. 300 до н. э.) ак­сио­ма­тич. сис­те­ма, ко­то­рая ох­ва­ты­ва­ла всю из­вест­ную в то вре­мя ма­те­ма­ти­ку. Влия­ние А. м. рас­про­стра­ни­лось и на др. об­лас­ти зна­ния: фи­зи­ку, био­ло­гию, фи­ло­со­фию, бо­го­сло­вие.

На про­тя­же­нии мно­гих сто­ле­тий «На­ча­ла» Евк­ли­да бы­ли един­ст­вен­ным при­ме­ром ак­сио­ма­тич. тео­рии. На­чи­ная с 19 в. соз­да­ют­ся но­вые тео­рии, напр. Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рия, ак­сио­ма­тич. тео­рии дей­ст­ви­тель­ных и на­ту­раль­ных чи­сел. В нач. 20 в. бы­ли по­строе­ны ак­сио­ма­ти­че­ские тео­рии мно­жеств, по­вли­яв­шие на раз­ви­тие всей ма­те­ма­ти­ки.

Фор­маль­ное оп­ре­де­ле­ние ак­сио­ма­тич. тео­рии бы­ло да­но Д. Гиль­бер­том. При фор­маль­ном опи­са­нии тео­рии за­да­ёт­ся её язык (пра­ви­ла по­строе­ния вы­ра­же­ний разл. ти­пов, в т. ч. фор­мул, ко­то­рые со­от­вет­ст­ву­ют со­дер­жа­тель­ным ут­вер­жде­ни­ям), вы­де­ля­ет­ся класс фор­мул, на­зы­вае­мых ак­сио­ма­ми тео­рии, и опи­сы­ва­ют­ся пра­ви­ла вы­во­да, по­зво­ляю­щие стро­ить до­ка­за­тель­ст­ва тео­рем. До­ка­за­тель­ст­во есть по­сле­до­ва­тель­ность фор­мул, ка­ж­дая из ко­то­рых ли­бо яв­ля­ет­ся ак­сио­мой, ли­бо по­лу­ча­ет­ся из пре­ды­ду­щих по од­но­му из пра­вил вы­во­да. Тео­рия на­зы­ва­ет­ся не­про­ти­во­ре­чи­вой, ес­ли в ней нель­зя по­лу­чить про­ти­во­ре­чие, т. е. от­ри­ца­ния её тео­рем не яв­ля­ют­ся тео­ре­ма­ми; и пол­ной, ес­ли для лю­бой фор­му­лы A, ли­бо A, ли­бо от­ри­ца­ние A яв­ля­ет­ся тео­ре­мой. При по­строе­нии фор­маль­ных тео­рий во­прос о не­про­ти­во­ре­чи­во­сти яв­ля­ет­ся клю­че­вым. Для ус­та­нов­ле­ния не­про­ти­во­ре­чи­во­сти обыч­но ис­поль­зу­ет­ся ме­тод ин­тер­пре­та­ций. При син­так­сич. ин­тер­пре­та­ции тео­рии T вы­би­ра­ет­ся дру­гая тео­рия T₁, не­про­ти­во­ре­чи­вость ко­то­рой пред­по­ла­га­ет­ся из­вест­ной; ин­тер­пре­та­ция пе­ре­во­дит фор­му­лы T в фор­му­лы T₁, а тео­ре­мы T – в тео­ре­мы T₁. При се­ман­ти­че­ской ин­тер­пре­та­ции стро­ит­ся мо­дель тео­рии: тео­ре­мы пре­вра­ща­ют­ся в ис­тин­ные со­дер­жа­тель­ные ут­вер­жде­ния об объ­ек­тах не­ко­то­ро­го уни­вер­су­ма. Ес­ли тео­рия име­ет мо­дель, то она не­про­ти­во­ре­чи­ва. Пу­тём ин­тер­пре­та­ции до­ка­за­тель­ст­во не­про­ти­во­ре­чи­во­сти евк­ли­до­вой гео­мет­рии сво­дит­ся к до­ка­за­тель­ст­ву не­про­ти­во­ре­чи­во­сти тео­рии дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, а до­ка­за­тель­ст­во не­про­ти­во­ре­чи­во­сти гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го – к до­ка­за­тель­ст­ву не­про­ти­во­ре­чи­во­сти евк­ли­до­вой гео­мет­рии.

Во­про­сы о не­про­ти­во­ре­чи­во­сти ста­ли осо­бен­но ак­ту­аль­ны в нач. 20 в. по­сле об­на­ру­же­ния па­ра­док­сов мно­жеств тео­рии. В свя­зи с этим в нач. 20 в. Д. Гиль­бер­том вы­дви­ну­та про­грам­ма обос­но­ва­ния ма­те­ма­ти­ки, це­лью ко­то­рой бы­ло до­ка­за­тель­ст­во не­про­ти­во­ре­чи­во­сти фор­маль­ных тео­рий, ис­поль­зую­щих бес­ко­неч­ные мно­же­ст­ва. Про­грам­ма Гиль­бер­та су­ще­ст­вен­но пе­ре­ос­мыс­ле­на по­сле от­кры­тий К. Гё­де­ля (1931–32). Для лю­бой не­про­ти­во­ре­чи­вой тео­рии S, со­дер­жа­щей ариф­ме­ти­ку и за­дан­ной ал­горит­ми­че­ски пе­ре­чис­ли­мым спи­ском ак­си­ом, ус­та­нов­ле­но, что тео­рия S не­пол­на (тео­ре­ма Гё­де­ля о не­пол­но­те) и не­про­ти­во­ре­чи­вость тео­рии S нель­зя до­ка­зать сред­ст­ва­ми са­мой тео­рии S (тео­ре­ма Гёде­ля о не­про­ти­во­ре­чи­во­сти). Пер­вый ре­зуль­тат, по су­ще­ст­ву, оз­на­ча­ет, что окон­ча­тель­ная фор­ма­ли­за­ция на­уч. зна­ния не­воз­мож­на, и в лю­бой дос­та­точ­но силь­ной ак­сио­ма­тич. тео­рии име­ют­ся про­бле­мы, ко­то­рые не­раз­ре­ши­мы в са­мой этой тео­рии. Вто­рой ре­зуль­тат по­ка­зы­ва­ет, что та­кой про­бле­мой яв­ля­ет­ся не­про­ти­во­ре­чи­вость тео­рии S, и для её дока­за­тель­ст­ва тре­бу­ют­ся не­ариф­ме­тич. сред­ст­ва. С по­мо­щью до­пол­ни­тель­ных прин­ци­пов бы­ли по­лу­че­ны до­ка­за­тель­ст­ва не­про­ти­во­ре­чи­во­сти ариф­ме­ти­ки, ана­ли­за и ря­да др. тео­рий. Бы­ла уси­ле­на тео­рема Гё­де­ля о не­пол­но­те: най­де­ны ариф­ме­тич. ут­вер­жде­ния, ко­то­рые ис­тин­ны, но не­до­ка­зуе­мы в фор­маль­ной ариф­ме­ти­ке.

Фор­маль­ная ак­сио­ма­тич. тео­рия на­зы­ва­ет­ся ал­го­рит­ми­че­ски раз­ре­ши­мой, ес­ли для лю­бой фор­му­лы A су­ще­ст­ву­ет ал­го­ритм, ко­то­рый за ко­неч­ное чис­ло ша­гов оп­ре­де­ля­ет, яв­ля­ет­ся ли фор­му­ла A тео­ре­мой. Про­грам­ма Гиль­бер­та под­ра­зу­ме­ва­ла, что фор­маль­ное до­ка­за­тель­ст­во тео­рем мож­но ме­ха­ни­зи­ро­вать. Од­на­ко не­раз­ре­ши­ма да­же про­стей­шая тео­рия – ис­чис­ле­ние пре­ди­ка­тов, не­раз­ре­ши­ма вся­кая не­про­ти­во­ре­чи­вая тео­рия, со­дер­жа­щая ариф­ме­ти­ку, и мно­гие др. тео­рии. С дру­гой сто­ро­ны, об­на­ру­же­ны и не­три­ви­аль­ные при­ме­ры раз­ре­ши­мых тео­рий, напр. евк­ли­до­ва гео­мет­рия и тео­рия ко­неч­ных по­лей.

Аль­тер­на­тив­ным А. м. яв­ля­ет­ся ге­нети­че­ский (кон­ст­рук­тив­ный) ме­тод, при ко­то­ром но­вые на­уч. за­ко­ны на­хо­дят­ся опыт­ным пу­тём, а не как ло­ги­че­ские след­ст­вия из­вест­ных ре­зуль­та­тов. Ге­не­тич. ме­тод раз­ви­вал­ся в 20 в. в интуи­цио­ни­ст­ском (франц. ма­те­ма­тик Г. Вейль, голл. ма­те­ма­тик Л. Брау­эр) и кон­ст­рук­тив­ном (А. А. Мар­ков) на­прав­ле­ни­ях ма­те­ма­ти­ки.

А. м. сыг­рал и про­дол­жа­ет иг­рать важ­ную роль в ос­но­ва­ни­ях ма­те­ма­ти­ки.