ТЕОРЕ́МА

ТЕОРЕ́МА (греч. ϑεώρημα, от ϑεωρέω – рас­смат­ри­вать, ис­сле­до­вать), ма­те­ма­тич. ут­вер­жде­ние, ис­тин­ность ко­то­ро­го ус­та­нов­ле­на пу­тём до­ка­за­тель­ст­ва. Ка­ж­дая об­ласть ма­те­ма­ти­ки со­сто­ит из Т., до­ка­зы­вае­мых од­на за дру­гой на ос­но­ва­нии уже до­ка­зан­ных Т., са­мые же пер­вые ут­вер­жде­ния, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся ак­сио­ма­ми, при­ни­ма­ют­ся без до­ка­за­тельств и слу­жат ло­гич. ос­но­вой дан­ной об­лас­ти ма­те­ма­ти­ки.

В фор­му­ли­ров­ке Т. раз­ли­ча­ют ус­ло­вие и за­клю­че­ние. Напр., 1) ес­ли сум­ма цифр чис­ла де­лит­ся на три, то и са­мо чис­ло де­лит­ся на три; 2) ес­ли в тре­уголь­ни­ке один угол пря­мой, то оба дру­гих – ост­рые. В ка­ж­дом из этих при­ме­ров перед «то» сто­ит ус­ло­вие Т., а по­сле «то» – за­клю­че­ние. В та­ком ви­де мож­но сфор­му­ли­ро­вать ка­ж­дую тео­ре­му.

Ка­ж­дой Т., сфор­му­ли­ро­ван­ной в ви­де «ес­ли..., то...», мож­но со­пос­та­вить ей об­рат­ную Т., в ко­то­рой ус­ло­вие дан­ной Т. за­ме­ня­ет­ся за­клю­че­ни­ем, а за­клю­че­ние – ус­ло­ви­ем. Пря­мая и об­рат­ная Т. вза­им­но об­рат­ны. Не для вся­кой вер­ной Т. об­рат­ная Т. ока­зы­ва­ет­ся вер­ной; так, об­рат­ная Т. для при­ме­ра 1) вер­на, а для при­ме­ра 2) – не­вер­на. Спра­вед­ли­вость обе­их вза­им­но об­рат­ных Т. оз­на­ча­ет, что вы­пол­не­ние ус­ло­вия лю­бой из них не толь­ко дос­та­точ­но, но и не­об­хо­ди­мо для спра­вед­ли­во­сти за­клю­че­ния (см. Не­об­хо­ди­мые и дос­та­точ­ные ус­ло­вия). Ес­ли ус­ло­вие и за­клю­че­ние дан­ной Т. за­ме­нить их от­ри­ца­ния­ми, то по­лу­ча­ет­ся т. н. про­ти­во­по­лож­ная тео­ре­ма.