ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, об­рат­ная к по­ка­за­тель­ной функ­ции

, обо­зна­ча­ет­ся $y=\text{ln}x$, её зна­че­ние $y$, со­от­вет­ст­вую­щее зна­че­нию ар­гу­мен­та $x$, на­зы­ва­ет­ся на­ту­раль­ным ло­га­риф­мом

 >>

чис­ла $x$. Ра­вен­ст­во, оп­ре­де­ляю­щее Л. ф., рав­но­силь­но ра­вен­ст­ву $x=e^у$, где $e=$ 2,71828... – не­пе­ро­во чис­ло

 >>

. Т. к. $e^y> 0$ при лю­бом дей­ст­ви­тель­ном $y$, то Л. ф. оп­ре­де­ле­на толь­ко при $x>0$.

В бо­лее об­щем смыс­ле Л. ф. на­зы­ва­ют функ­цию $y=\text{log}_ax$, где по­ло­жи­тель­ное $a,\; a≠1$, – ос­но­ва­ние ло­га­риф­мов. Од­на­ко в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе осо­бое зна­че­ние име­ет функ­ция lnx; функ­ция $\text{log}_ax$ при­во­дит­ся к ней по фор­му­ле $\text{log}_ax=\text{ln}\:x/\text{ln}\:a$.

Л. ф. – од­на из эле­мен­тар­ных функ­ций

. Осн. свой­ст­ва Л. ф. вы­те­ка­ют из свойств по­ка­за­тель­ной функ­ции и ло­гариф­мов; напр., Л. ф. удов­ле­тво­ря­ет функ­цио­наль­но­му урав­не­нию $\text {ln}\: x + \text{ln} \: y = \text{ln}\: xy$. Для ${–1}{<}\:{x}\:{⩽}\:1$ спра­вед­ли­во раз­ло­же­ние в сте­пен­ной ряд $$\text{ln}(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$$

Л. ф. име­ет про­из­вод­ные всех по­ряд­ков $$(\text{ln}\:x)′=1/x,\; (\text{ln}\:x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!/x^n,\; n=2,3, ...$$

Че­рез Л. ф. вы­ра­жа­ют­ся мн. не­оп­ре­де­лён­ные ин­те­гра­лы, напр. $$\int\frac{dx}{x}=\text{ln}|x|+C,\;\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\text{ln}(x+\sqrt{x^2+a}+C.$$

Л. ф. час­то встре­ча­ет­ся в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе и его при­ло­же­ни­ях.

Л. ф. бы­ла из­вест­на ма­те­ма­ти­кам 17 в. Впер­вые за­ви­си­мость ме­ж­ду пе­ре­мен­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, вы­ра­жае­мая Л. ф., рас­смат­ри­ва­лась Дж. Не­пе­ром

(1614).

Л. ф. $\text{Ln}z$ ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной $z$ яв­ля­ет­ся мно­го­знач­ной (бес­ко­неч­но­знач­ной) функ­ци­ей, оп­ре­де­лён­ной при всех зна­че­ни­ях $z≠0$ ра­вен­ст­вом $$\text{Ln}\:z=\text{ln}|z|+i\:argz+2πki,\; k=0, ±1, ±2, ...,$$ где $\text{arg}\:z$ – гл. зна­че­ние ар­гу­мен­та ком­плекс­но­го чис­ла

z, $–π<\text{arg}\:z⩽π,\; i$ – мни­мая еди­ни­ца. Точ­ки 0 и 5  – точ­ки ветв­ле­ния бес­ко­неч­но­го по­ряд­ка функ­ции $\text{Ln}z$. В ка­ж­дой об­лас­ти ком­плекс­ной плос­кости, ко­то­рая не со­дер­жит точ­ку $z=0$ и в ко­то­рой не су­ще­ст­ву­ет замк­ну­тых кри­вых, со­дер­жа­щих эту точ­ку внут­ри се­бя, мож­но вы­де­лить не­пре­рыв­ную од­но­знач­ную ветвь функ­ции $\text{Ln}z$. Напр., в об­лас­ти $G=\left \{z:-π<\text{arg}\:z<π\right \}$ та­кой вет­вью яв­ля­ет­ся $$\text{ln}z=\text{ln}|z|+i\:arg\:z,$$ при­чём $\text{ln}z$ – ана­ли­ти­че­ская функ­ция

 >>

в об­лас­ти $G$, а её про­из­вод­ная $(\text{ln}z)′=1/z$. Все зна­че­ния Л. ф. для от­ри­ца­тель­ных дей­ст­ви­тель­ных $z$ яв­ля­ют­ся ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми. Пер­вая тео­рия Л. ф. в ком­плекс­ной плос­ко­сти бы­ла по­строе­на Л. Эй­ле­ром

 >>

(1749).