ИСЧИСЛЕ́НИЕ

ИСЧИСЛЕ́НИЕ в ма­те­ма­ти­ке, 1) со­став­ная часть на­зва­ния не­ко­то­рых раз­де­лов ма­те­ма­ти­ки, напр. ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние, диф­фе­рен­ци­аль­ное ис­чис­ле­ние.

2) В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке и тео­рии ал­горит­мов спо­соб за­да­ния то­го или ино­го мно­же­ст­ва объ­ек­тов пу­тём ука­за­ния ис­ход­ных объ­ек­тов и пра­вил вы­во­да, по­ро­ж­даю­щих но­вые объ­ек­ты из ис­ход­ных и уже по­стро­ен­ных; си­но­ни­ма­ми И. яв­ля­ют­ся фор­маль­ная сис­те­ма и де­дук­тив­ная сис­те­ма. Об­щее по­ня­тие И. име­ет столь же фун­дам. ха­рак­тер, как и по­ня­тие ал­го­рит­ма, в ча­ст­но­сти, класс мно­жеств, ко­то­рые мо­гут быть за­да­ны с по­мо­щью И., сов­па­да­ет с клас­сом ал­го­рит­ми­че­ски пе­ре­чис­ли­мых мно­жеств.

Спец. ви­ды И. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в ма­те­ма­ти­ке для за­да­ния ал­геб­ра­ич. сис­тем (групп, по­лу­групп и др.), в ма­те­ма­ти­че­ской лин­гвис­ти­ке – для опи­са­ния грам­ма­тик фор­маль­ных, в ин­фор­ма­ти­ке – для опи­са­ния син­так­си­са язы­ков про­грам­ми­ро­ва­ния, и т. д. В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке И. ис­поль­зу­ют для опи­са­ния ло­гич. язы­ков и фор­маль­ных ак­сио­ма­тич. тео­рий (напр., та­ких как вы­ска­зы­ва­ний ис­чис­ле­ние, пре­ди­ка­тов ис­чис­ле­ние, фор­маль­ная ариф­ме­ти­ка). Ло­гич. сис­те­мы И., раз­ра­бо­тан­ные Г. Фре­ге и Д. Гиль­бер­том, бы­ли пер­вы­ми при­ме­ра­ми пол­но­стью фор­ма­ли­зов. де­дук­тив­ных сис­тем.

Ло­гич. И., как пра­ви­ло, оп­ре­де­ля­ют­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Рас­смат­ри­ва­ет­ся не­ко­то­рый ал­фа­вит, из эле­мен­тов ко­торо­го, на­зы­вае­мых сим­во­ла­ми, с по­мощью т. н. пра­вил об­ра­зо­ва­ния стро­ят­ся фор­му­лы рас­смат­ри­вае­мо­го И. Язы­ком дан­но­го И. на­зы­ва­ют со­во­куп­ность всех его фор­мул; не­ко­то­рые из фор­мул объ­яв­ля­ют­ся ак­сио­ма­ми. Вы­во­дом (или до­ка­за­тель­ст­вом) в дан­ном И. на­зы­ва­ют ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность фор­мул, вся­кий эле­мент ко­то­рой ли­бо яв­ля­ет­ся ак­сио­мой, ли­бо по­лу­ча­ет­ся из пред­ше­ст­вую­щих ему эле­мен­тов по од­но­му из пра­вил вы­во­да. Фор­му­лы, вхо­дя­щие в не­ко­то­рый вы­вод, на­зы­ва­ют вы­во­ди­мы­ми фор­му­ла­ми или тео­ре­ма­ми дан­ного И. Для ло­гич. И. ука­зан­но­го ти­па час­то ис­поль­зу­ет­ся тер­мин «фор­маль­ная (ак­сио­ма­ти­че­ская) тео­рия». Ино­гда этот тер­мин от­но­сят не толь­ко к чис­то син­так­сич. И., опи­сы­ваю­ще­му фор­маль­ный про­цесс по­ро­ж­де­ния оп­ре­де­лён­ных це­по­чек сим­во­лов, но и к И., снаб­жён­но­му се­ман­ти­кой, т. е. ин­тер­пре­та­ци­ей, оп­ре­де­ляю­щей смысл фор­мул рас­смат­ри­вае­мо­го язы­ка (см. так­же Ло­ги­че­ская се­ман­ти­ка).