ФО́РМУЛА

ФО́РМУЛА (лат. formula – фор­ма, пра­ви­ло, пред­пи­са­ние), ком­би­на­ция ма­те­ма­тич. зна­ков, вы­ра­жаю­щая к.-л. ут­верж­де­ние. Напр., сле­дую­щие вы­ра­же­ния суть Ф.: $$x^2+y^2 < z, \tag{1}\\$$ $$2×2=4, \tag{2}\\$$ $$2×2=5, \tag{3}\\$$ $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\tag{4}\\$$ $$\int_9^1 x^5 dx=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{t=1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^5 \cdot \frac{1}{n},\tag{5}\\$$ $$y'=y,\tag{6}\\$$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}. \tag{7}$$

Эти при­ме­ры по­ка­зы­ва­ют, что с по­мо­щью Ф. до­воль­но слож­ные пред­ло­же­ния с по­мо­щью ма­те­ма­ти­че­ских зна­ков мо­гут быть за­пи­са­ны в ком­пакт­ной и удоб­ной фор­ме. Не­ко­то­рые Ф. вы­ра­жа­ют впол­не оп­ре­де­лён­ные кон­крет­ные су­ж­де­ния и яв­ля­ют­ся ис­тин­ны­ми [из на­пи­сан­ных вы­ше (2) и (5)] или лож­ны­ми [как (3)]. Смысл дру­гих Ф. [из на­пи­сан­ных вы­ше (1), (4), (6), (7)] за­ви­сит от зна­че­ний вхо­дя­щих в них пе­ре­мен­ных. Напр., (1) яв­ля­ет­ся ис­тин­ной Ф. 1²+ 2²< 19 при x=1, y= 2, z= 19 и лож­ной Ф. 3²+4²<5 при x=3, y=4, z=5. Ф. это­го ти­па не яв­ля­ют­ся ис­тин­ны­ми или лож­ны­ми не­по­сред­ст­вен­но, но ста­но­вят­ся та­ко­вы­ми при за­ме­ще­нии пе­ре­мен­ных кон­крет­ны­ми объ­ек­та­ми из к.-л. за­ра­нее вы­бран­ной об­лас­ти. Ф., ста­но­вя­щие­ся ис­тин­ны­ми при лю­бом за­ме­ще­нии пе­ре­мен­ных объ­ек­та­ми из не­ко­то­рой об­лас­ти, на­зы­ва­ют­ся то­ж­де­ст­вен­но-ис­тин­ны­ми в дан­ной об­лас­ти. Напр., Ф. (4) то­ж­де­ст­вен­но-ис­тин­на в об­лас­ти ком­плекс­ных чи­сел, Ф. (7) то­ж­де­ст­вен­но-ис­тин­на в об­лас­ти два­ж­ды не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мых функ­ций от ар­гу­мен­тов x и y. Ф., яв­ляю­щие­ся ис­тин­ны­ми [как (2) и (5)] или то­ж­де­ст­вен­но-ис­тин­ны­ми в к.-л. об­лас­ти [как (4) и (7)], слу­жат для за­пи­си ма­те­ма­тич. за­ко­нов. При этом то­ж­де­ст­вен­но-ис­тин­ные Ф. час­то по­ни­ма­ют­ся как ут­вер­жде­ния о все­общ­но­сти. Напр., наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ное по­ни­ма­ние Ф. (4) со­сто­ит в том, что она счи­та­ет­ся со­кра­щён­ной за­пи­сью ут­вер­жде­ния «для лю­бых чи­сел a и b спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во (a+b)²=a²+2ab+b²».