ДЗЕ́ТА-ФУ́НКЦИЯ

ДЗЕ́ТА-ФУ́НКЦИЯ Ри­ма­на ($\zeta$-функ­ция), ана­ли­тич. функ­ция ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $s= \sigma+it$, при $\sigma>1$ оп­ре­де­ляе­мая аб­со­лют­но и рав­но­мер­но схо­дя­щим­ся Ди­рих­ле ря­дом: $$\zeta (s)= \sum^\infty_{n=1} \frac {1}{n^s}.\quad\tag{1}$$

При $\sigma >1$ спра­вед­ли­во пред­став­ле­ние в ви­де про­из­ве­де­ния Эй­ле­ра: $$\zeta(s)= \Pi_p \left(1-\frac {1}{p^s}\right)^{-1},\quad\tag{2}$$где $p$ про­бе­га­ет все про­стые чис­ла.

То­ж­де­ст­вен­ность ря­да $(1)$ и про­из­ве­де­ния $(2)$ пред­став­ля­ет со­бой од­но из осн. свойств Д.-ф. Оно по­зво­ля­ет по­лу­чить мно­го­числ. со­от­но­ше­ния, свя­зы­ваю­щие Д.-ф. с важ­ней­ши­ми тео­ре­ти­ко-чи­сло­вы­ми функ­ция­ми. По­это­му Д.-ф. иг­ра­ет боль­шую роль в тео­рии чи­сел.

Д.-ф. бы­ла вве­де­на как функ­ция дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го Л. Эй­ле­ром (1737, опубл. в 1744), ко­то­рый ука­зал её раз­ло­же­ние в про­из­ве­де­ние $(2)$. За­тем Д.-ф. рас­смат­ри­ва­лась П. Ди­рих­ле и осо­бен­но ус­пеш­но П. Л. Че­бы­ше­вым в свя­зи с изу­че­ни­ем за­ко­на рас­пре­де­ле­ния про­стых чи­сел. Наи­бо­лее глу­бо­кие свой­ст­ва Д.-ф. бы­ли об­на­ру­же­ны по­сле ра­бот Б. Ри­ма­на, впер­вые в 1859 рас­смот­рев­ше­го Д.-ф. как функ­цию ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го; им же вве­де­но назв. «Д.-ф.» и обо­зна­че­ние $\zeta(s)$.

Мн. про­бле­мы тео­рии про­стых чи­сел тес­но свя­за­ны с ну­ля­ми Д.-ф. Из­вест­но, что Д.-ф. име­ет ну­ли в точ­ках $s=-2n$, где $n=1,2,...$ (эти ну­ли при­ня­то на­зы­вать три­ви­аль­ны­ми), и что все ос­таль­ные (не­три­ви­аль­ные) ну­ли Д.-ф. на­хо­дят­ся в по­ло­се $0 \lt \sigma \lt 1$, на­зы­вае­мой кри­тич. по­ло­сой. Б. Ри­ман вы­ска­зал предпо­ло­же­ние, что все не­три­ви­аль­ные ну­ли Д.-ф. рас­по­ло­же­ны на пря­мой $\sigma=1/2$. Эта ги­по­те­за Ри­ма­на до сих пор (2006) не до­ка­за­на и не оп­ро­верг­ну­та.