Аналити́ческая геоме́трия, раздел геометрии, в котором геометрические объекты (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.

Возникновение в 17 в. метода координат связано с развитием астрономии, механики и техники. Изложение этого метода и основ аналитической геометрии было дано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. В. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами аналитической геометрии пользовался Ж. Л. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Долгое время для аналитической геометрии было принято название «декартова геометрия», которое ввёл И. Бернулли (1692).

Сущность метода координат заключается в следующем. Пусть на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые $Ox$ и $Oy$ (рис. 1).

Рис. 1.Рис. 1. Эти прямые с указанием направления, начала координат $O$ и масштабной единицы образуют т. н. декартову систему координат $Oxy$ на плоскости. Прямые $Ox$ и $Oy$ называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки $M$ на плоскости по отношению к этой системе $Oxy$ можно определить следующим образом. Пусть $M_x$ и $M_y$ – проекции $M$ на $Ox$ и $Oy$, а числа $x$ и $y$ – величины отрезков $OM_x$ и $OM_y$; величина $x$ отрезка $OM_x$ равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от $O$ к $M_x$ совпадает с направлением на прямой $Ox$, и со знаком минус в противоположном случае, величина $y$ определяется аналогично. Числа $x$ и $y$ называются декартовыми прямоугольными координатами (прямоугольными координатами, декартовыми координатами) точки $M$ в системе $Oxy$. Обычно $x$ называется абсциссой, а $y$ – ординатой точки $M$. Для обозначения точки $M$ с абсциссой $x$ и ординатой $y$ пользуются символом $M(x,y)$ или $(x,y)$. Координаты точки $M$ определяют её положение относительно системы $Oxy$.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат $Oxy$ задана некоторая линия $L$. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения линии $L$ относительно системы $Oxy$ как соотношения вида $F(x,y)=0$, которому удовлетворяют координаты $x$ и $y$ любой точки $M$, расположенной на $L$, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на $L$. Если, например, линия $L$ является окружностью радиуса $r$ с центром в начале координат $O$, то уравнение $x^2+y^2-r^2=0$ является уравнением рассматриваемой окружности (рис. 2).

Рис. 2.Рис. 2.Если точка $M$ лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника $OMM_x$ справедливо равенство $x^2+y^2-r^2=0$. Если же точка не лежит на окружности, то $x^2+y^2-r^2≠0$.

Основная идея метода координат состоит в том, что геометрические свойства линии $L$ исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой линии аналитическими и алгебраическими средствами. Например, для нахождения числа точек пересечения окружности $C$ радиуса $r$ и данной прямой линии $b$ (рис. 3) метод координат применяется следующим образом.

Рис. 3.Рис. 3.Систему координат $Oxy$ выбирают так, чтобы её начало находилось в центре окружности, а ось $Ox$ была направлена перпендикулярно прямой $b$. Так как прямая $b$ перпендикулярна оси $Ox$, абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной $a$, т. е. уравнение прямой имеет вид $x-a=0$. Координаты $(x,y)$ любой точки пересечения окружности $C$ (уравнение которой имеет вид $x^2+y^2-r^2=0$) и прямой $b$ удовлетворяют уравнениям$$x^2+y^2-r^2=0,\,\ \ \ \ x-a=0.\,\tag 1$$Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений системы алгебраических уравнений $(1)$. Решая эту систему, получают$$x=a,\, \ \ \ \ y=\pm \sqrt {r^2-a^2};$$таким образом, окружность и прямая пересекаются в двух точках при $r^2 \gt a^2$ (этот случай изображён на рис. 3), имеют одну общую точку при $r^2=a^2$ (в этом случае прямая $b$ касается окружности $C$) и не имеют общих точек при $r^2 \lt a^2$.

В аналитической геометрии на плоскости исследуются т. н. алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями 1-й и 2-й степеней. На плоскости линии 1-го порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением 1-й степени$$Ax+By+C=0,$$линии 2-го порядка определяются уравнениями вида$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,$$где $A, B, C, D, E, F$ – некоторые числа.

Для исследования и классификации линий 2-го порядка вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О линиях 2-го порядка см. в статьях Гипербола, Конические сечения, Парабола, Эллипс.

В пространстве прямоугольные координаты $x$, $y$ и $z$ (соответственно абсцисса, ордината и аппликата) точки $M$ вводятся по аналогии с плоским случаем (рис. 4).

Рис. 4.Рис. 4.Каждой поверхности $S$ в пространстве можно сопоставить её уравнение $F(x,y,z)=0$ относительно системы координат $Oxyz$. Например, уравнение сферы радиуса $r$ с центром в начале координат имеет вид$$x^2+y^2+z^2-r^2=0.$$Геометрические свойства поверхности $S$ исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой поверхности аналитическими и алгебраическими средствами. Линию $L$ в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей $S_1$ и $S_2$. Если $F_1(x,y,z)=0$ и $F_2(x,y,z)=0$ – уравнения поверхностей $S_1$ и $S_2$, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии $L$. Например, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскости в пространстве определяются уравнениями вида$$Ax+By+Cz+D=0,$$то прямую можно задать парой уравнений такого вида, рассматриваемых совместно. Таким образом, метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Алгебраическими поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx +Hy+Mz+N=0,$$где $A, B, …, N$ – некоторые числа. Так же как в случае плоскости, для исследования и классификации этих поверхностей вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О поверхностях 2-го порядка см. в статьях Гиперболоид, Параболоид, Эллипсоид.

В аналитической геометрии эффективно используется векторная алгебра. Естественное обобщение аналитической геометрии на случай многомерных векторных пространств составляет особый раздел математики – линейную алгебру.