АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раздел геометрии, в котором геометрич. объекты (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.
Возникновение в 17 в. метода координат связано с развитием астрономии, механики и техники. Изложение этого метода и основ А. г. было дано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637). Осн. идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж при построении аналитич. механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Долгое время для А. г. было принято назв. «декартова геометрия», которое ввёл И. Бернулли (1692).
Сущность метода координат заключается в следующем. Пусть на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые $Ox$ и $Oy$ (рис. 1). Эти прямые с указанием направления, начала координат $O$ и масштабной единицы образуют т. н. декартову систему координат $Oxy$ на плоскости. Прямые $Ox$ и $Oy$ называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки $M$ на плоскости по отношению к этой системе $Oxy$ можно определить следующим образом. Пусть $M_x$ и $M_y$ – проекции $M$ на $Ox$ и $Oy$, а числа $x$ и $y$ – величины отрезков $OM_x$ и $OM_y$; величина $x$ отрезка $OM_x$ равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от $O$ к $M_x$ совпадает с направлением на прямой $Ox$, и со знаком минус в противоположном случае, величина $y$ определяется аналогично. Числа $x$ и $y$ называются декартовыми прямоугольными координатами (прямоугольными координатами, декартовыми координатами) точки $M$ в системе $Oxy$. Обычно $x$ называется абсциссой, а $y$ – ординатой точки $M$. Для обозначения точки $M$ с абсциссой $x$ и ординатой $y$ пользуются символом $M(x,y)$ или $(x,y)$. Координаты точки $M$ определяют её положение относительно системы $Oxy$.
Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат $Oxy$ задана некоторая линия $L$. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения линии $L$ относительно системы $Oxy$ как соотношения вида $F(x,y)=0$, которому удовлетворяют координаты $x$ и $y$ любой точки $M$, расположенной на $L$, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на $L$. Если, напр., линия $L$ является окружностью радиуса $r$ с центром в начале координат $O$, то уравнение $x^2+y^2-r^2=0$ является уравнением рассматриваемой окружности (рис. 2). Если точка $M$ лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника $OMM_x$ справедливо равенство $x^2+y^2-r^2=0$. Если же точка не лежит на окружности, то $x^2+y^2-r^2≠0$.
Осн. идея метода координат состоит в том, что геометрич. свойства линии $L$ исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой линии аналитич. и алгебраич. средствами. Напр., для нахождения числа точек пересечения окружности $C$ радиуса $r$ и данной прямой линии $b$ (рис. 3) метод координат применяется следующим образом. Систему координат $Oxy$ выбирают так, чтобы её начало находилось в центре окружности, а ось $Ox$ была направлена перпендикулярно прямой $b$. Т. к. прямая $b$ перпендикулярна оси $Ox$, абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной $a$, т. е. уравнение прямой имеет вид $x-a=0$. Координаты $(x,y)$ любой точки пересечения окружности $C$ (уравнение которой имеет вид $x^2+y^2-r^2=0$) и прямой $b$ удовлетворяют уравнениям$$x^2+y^2-r^2=0,\,x-a=0.\,(1)$$
Следовательно, геометрич. вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитич. вопросу о числе решений системы алгебраич. уравнений (1). Решая эту систему, получают$$x=a,\, y=\pm \sqrt {r^2-a^2}$$т. о., окружность и прямая пересекаются в двух точках при $r^2 \gt a^2$ (этот случай изображён на рис. 3), имеют одну общую точку при $r^2=a^2$ (в этом случае прямая $b$ касается окружности $C$) и не имеют общих точек при $r^2 \lt a^2$.
В А. г. на плоскости исследуются т. н. алгебраич. линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраич. уравнениями 1-й и 2-й степеней. На плоскости линии 1-го порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраич. уравнением 1-й степени$$ax+by+c=0,$$линии 2-го порядка определяются уравнениями вида$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,$$где $a, b, c, d, e, f$ – некоторые числа.
Для исследования и классификации линий 2-го порядка вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О линиях 2-го порядка см. в статьях Гипербола, Конические сечения, Парабола, Эллипс.
В пространстве прямоугольные координаты $x$, $y$ и $z$ (соответственно абсцисса, ордината и аппликата) точки $M$ вводятся по аналогии с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности $S$ в пространстве можно сопоставить её уравнение $F(x,y,z)=0$ относительно системы координат $Oxyz$. Напр., уравнение сферы радиуса $r$ с центром в начале координат имеет вид$$x^2+y^2+z^2-r^2=0.$$
Геометрич. свойства поверхности $S$ исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой поверхности аналитич. и алгебраич. средствами. Линию $L$ в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей $S_1$ и $S_2$. Если $F_1(x,y,z)=0$ и $F_2(x,y,z)=0$ – уравнения поверхностей $S_1$ и $S_2$, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии $L$. Напр., прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Т. к. плоскости в пространстве определяются уравнениями вида$$ax+by+cz+d=0,$$то прямую можно задать парой уравнений такого вида, рассматриваемых совместно. Т. о., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В пространстве систематически исследуются т. н. алгебраич. поверхности 1-го и 2-го порядков. Алгебраич. поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида$$ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fxz+gx +hy+mz+n=0,$$где $a, b, …, n$ – некоторые числа. Так же как в случае плоскости, для исследования и классификации этих поверхностей вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О поверхностях 2-го порядка см. в статьях Гиперболоид, Параболоид, Эллипсоид.
В А. г. эффективно используется векторная алгебра. Естественное обобщение А. г. на случай многомерных векторных пространств составляет особый раздел математики – линейную алгебру.
