Э́ЛЛИПС
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Э́ЛЛИПС (греч. ἔλλειψις – недостаток, выпадение, опущение), линия пересечения круглого конуса с плоскостью, пересекающей одну его полость. Такое сечение изображено на рис., а. Э. может быть также определён как геометрич. место точек $M$ плоскости $Oxy$ (рис., б), для которых сумма расстояний $r_1=F_1M$ и $r_2=F_2M$ до двух фиксированных точек $F_1$(–$c$,0) и $F_2$($c$,0) (фокусов Э.) этой плоскости есть величина постоянная: $r_1+r_2=2a$. Середина $O$ отрезка $F_1F_2$ (фокусного расстояния) называется центром эллипса.
В прямоугольной системе координат $Oxy$ с началом в центре Э., на оси $Ox$ которой лежат фокусы Э., уравнение Э. принимает т. н. канонический вид$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\quad b^2=a^2-c^2$$где $a=OA=OB$ и $b=OC=OD$ – длины большой и малой полуосей Э. При $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая является частным случаем эллипса.
Э. – замкнутая линия второго порядка, она симметрична относительно осей $Ox$ и $Oy$ и центра Э. Форма Э. (его вытянутость) определяется эксцентриситетом $e=c/a < 1$ (для окружности $e=0$). Прямые, уравнения которых $x=-a/e$ и $x=a/e$, называются директрисами Э.; отношение расстояния точки Э. до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ пересечения Э. с осями $Ox$, $Oy$ называются вершинами Э. Площадь, ограниченная Э., равна πab.