ПОДО́БИЯ ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПОДО́БИЯ ТЕО́РИЯ, рассматривает условия подобия состояний физич. тел, полей и протекающих в них процессов. Основой П. т. служит понятие о размерности физич. величины (см. Размерностей анализ). П. т. применяется для математич. и физич. моделирования разл. природных явлений подобными или аналогичными им явлениями, что связано с безразмерной постановкой задач и обработкой экспериментов.
Под подобием физич. явлений понимается возможность перехода от описания одного явления к описанию другого, физически сходного явления путём использования определённого множества преобразований (группы преобразований подобия). В рамках геометрич. подобия, связанного с рассмотрением 3-мерного пространства (описываемого евклидовой геометрией), такими преобразованиями являются выбор начала декартовой системы координат, повороты осей координат и их одинаковое растяжение. В кинематике, опирающейся на Ньютона законы механики, к этим преобразованиям добавляются преобразования Галилея (см. в ст. Галилея принцип относительности), выбор начала отсчёта абсолютного времени и его независимое растяжение. Т. о., всего имеется 12 параметров, выбор которых позволяет упростить постановку задачи.
Выбор тех или иных геометрич. и кинематич. преобразований (выбор осей координат, начала отсчёта времени, инерциальной системы отсчёта) часто очевиден, и осн. внимание уделяется растяжениям координат и времени, что эквивалентно изменению единиц измерения этих величин. Кроме соответствующих единиц измерения длин и времени, при описании механических и связанных с ними физико-химич. процессов используются также единицы массы, темп-ры, электрич. тока, силы света и количества вещества. Эти единицы объединяются в системы, в пределах которых размерности единиц жёстко фиксированы. Напр., в Междунар. системе единиц (СИ) такими единицами являются метр, секунда, килограмм, кельвин, ампер, кандела и моль. Поскольку выбор единиц измерения носит субъективный характер, формулировка физич. законов должна не зависеть от этого выбора и иметь инвариантный (т. н. безразмерный) вид. В результате перехода к безразмерным переменным уменьшается число величин, фигурирующих в теории и эксперименте, и появляется возможность описать сразу целый класс подобных явлений. При малом числе постоянных определяющих размерных параметров решение задачи (зависящее от координат и времени) становится автомодельным, т. е. подобным самому себе (см. Автомодельность).
Величины, значения которых зависят от выбора масштабов измерений, называются размерными, а независимые от этого выбора – безразмерными. Единицы измерения, отвечающие размерным величинам, делятся на основные (независимые) и производные. Так, если рассматриваются r независимых единиц с размерностями [a1], ..., [ar], то размерности производных величин имеют степенной вид: , который определяется размерностями кинематич. величин, а также структурой физич. законов. Напр., при задании трёх осн. единиц измерений (длины L, времени T и массы M) размерность силы F, действующей на массу m, согласно второму закону Ньютона (F=ma) с учётом определения ускорения a равна [F]=[MLT–2].
Для зависимости y=f(x1, ..., xn) некоторых физич. величин, инвариантной относительно выбора системы единиц измерений, имеет место т. н. Π-теорема (пи-теорема), утверждающая, что данная зависимость сводится к функции вида где величины Π1, ..., Πn–r суть безразмерные степенные комбинации макс. набора переменных x1, ..., xr (r⩽n) с независимыми размерностями и остальных аргументов функции f, а множитель, стоящий перед функцией φ, имеет ту же размерность, что и величина y. Выражение для величины y, в размерности которой встречаются осн. единицы, отсутствующие в размерностях переменных x1, ..., xr, существовать не может. Если n=r, то величина φ=const. При решении теоретич. задач и при эксперим. исследованиях используют только безразмерную функцию связывающую n-r+1 переменную.
Таким образом, разл. явления природы, исследуемые функции которых от независимых переменных имеют одинаковый безразмерный вид, оказываются подобными. На этом принципе строятся аналогии решений мн. задач, описывающих совершенно разные по своей природе процессы (механич., акустич., оптич. и др.), которые, однако, можно свести к одинаковым уравнениям. При решении задач важно сокращение числа постоянных определяющих параметров задачи до ряда безразмерных величин, называемых подобия критериями. Сходные физич. явления, для которых эти безразмерные параметры одинаковы, называются подобными. В некоторых случаях, когда совпадает только часть безразмерных постоянных, может иметь место частичное подобие.
В качестве примера рассмотрим движение математич. маятника массы m, подвешенного на невесомой нити длиной l в поле силы тяжести, описываемой ускорением свободного падения g, с макс. углом отклонения θ0 от направления силы тяжести. Из соображений размерности получаем, что период колебаний маятника равен t=φ (θ0)(l/g)1/2, где φ (θ0) – безразмерная функция. Используя свойства симметрии задачи и предполагая, что при малых θ0 функция φ(θ0) регулярна, получим, что φ= const с точностью до членов 2-го порядка. Эту безразмерную постоянную можно определить либо экспериментально, либо решая уравнения колебаний: она равна 2π. Из рассмотренного примера следует, что период малых колебаний маятников, имеющих разные массы и углы отклонения, будет одинаков.
Др. пример применения П. т. – стационарное обтекание шара радиуса R неограниченным потоком вязкой несжимаемой жидкости c постоянной плотностью ρ и постоянным кинематич. коэф. вязкости ν. Размерности этих характеристик жидкости равны [ρ ]=ML–3, [ν ]=L2T–1. Пренебрегая силой тяжести и предполагая, что на бесконечности перед шаром скорость потока равна V, определим величину силы сопротивления F шара потоку. Направления векторов F и V совпадают. Величина силы, согласно Π -теореме, равна F=(1/2)πρV2R2λ(Re), где Re=2RV/ν – Рейнольдса число (независимый критерий подобия для этого класса процессов), λ (Re) – безразмерная величина, называемая коэф. сопротивления. При малых значениях числа Re величину λ(Re) можно вычислить, приближённо решая Навье – Стокса уравнение с использованием числа Re в качестве малого параметра. Тогда получаем λ=24/Re и F=6πρνRV. Значения λ(Re) для всех Re<107 получены экспериментально. В общем случае число Рейнольдса зависит также от характерного размера l обтекаемого тела и играет важную роль при исследовании устойчивости ламинарных течений. В турбулентном режиме течения Re достигает значений 104 и выше.
П. т. определяет постановку экспериментов, моделирующих разл. технич. задачи и природные явления. При обработке эксперим. данных П. т. позволяет изменять только размерно-независимые величины (если известен полный набор определяющих параметров), что всегда существенно снижает объём исследовательской работы и вычислений.