АВТОМОДЕ́ЛЬНОСТЬ

АВТОМОДЕ́ЛЬНОСТЬ, свой­ст­во фи­зич. яв­ле­ния (фи­зич. про­цес­са), со­стоя­щее в том, что все его ха­рак­те­ри­сти­ки гео­мет­ри­че­ски по­доб­ны, т. е. про­стран­ст­вен­ные рас­пре­де­ле­ния ка­ж­дой из его ха­рак­те­ри­стик в разл. мо­мен­ты вре­ме­ни по­лу­ча­ют­ся од­но из дру­го­го пре­об­разо­ва­ни­ем по­до­бия. Точ­нее, фи­зич. яв­ле­ние об­ла­да­ет свой­ст­вом А., ес­ли мож­но вы­брать за­ви­ся­щие от вре­ме­ни $t$ (или не­ко­то­рой дру­гой не­за­ви­си­мой пере­менной) мас­штаб $r(t)$ про­стран­ст­вен­ной пе­ре­мен­ной $x=(x_1,...,x_n)$ и мас­штаб $u=u(t)$ лю­бой ха­рак­те­ри­сти­ки $u(t,x)$ фи­зич. яв­ле­ния так, что в ав­то­мо­дель­ных пе­ре­мен­ных $u/u(t), x/r(t) = (x_1/r(t),...,x_n/r(t))$ рас­смат­ри­вае­мая ха­рак­те­ри­сти­ка пред­став­ля­ет­ся в ви­де, не за­ви­ся­щем от вре­ме­ни. Та­ким об­ра­зом, А. фи­зич. яв­ле­ния при­во­дит к со­кра­ще­нию чис­ла не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных в его опи­са­нии.

Как пра­ви­ло, фи­зич. яв­ле­ния, об­ла­даю­щие свой­ст­вом А., пред­став­ля­ют со­бой при­бли­же­ния ре­аль­ных яв­ле­ний в тех или иных об­лас­тях про­стран­ст­ва и вре­ме­ни (ав­то­мо­дель­ные ре­ше­ния яв­ля­ют­ся точ­ны­ми ре­ше­ния­ми для пре­дель­ных си­туа­ций).

В боль­шин­ст­ве за­дач вид пре­об­ра­зо­ва­ния по­до­бия (вид ав­то­мо­дель­ных пе­ре­мен­ных) за­ра­нее не­из­вес­тен. Для его на­хо­ж­де­ния су­ще­ст­ву­ют два осн. ме­то­да: ана­лиз раз­мер­но­стей ха­рак­те­ри­стик про­цес­са и груп­по­вой ана­лиз диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, опи­сы­ваю­щих этот про­цесс. При изу­че­нии ме­ха­нич., те­п­ло­вых и не­ко­то­рых дру­гих фи­зич. яв­ле­ний дос­та­точ­но ис­поль­зо­вать толь­ко три не­за­ви­си­мые еди­ни­цы из­ме­ре­ния: для дли­ны, мас­сы и вре­ме­ни. В этом слу­чае ана­лиз раз­мер­но­стей по­ка­зы­ва­ет, что для су­ще­ст­во­ва­ния А. дос­та­точ­но, что­бы сис­те­ма оп­ре­де­ляю­щих па­ра­мет­ров со­дер­жа­ла не бо­лее двух ха­рак­те­ри­стик с не­за­ви­си­мы­ми раз­мер­но­стя­ми, от­лич­ны­ми от дли­ны и вре­мени. Бо­лее об­щим под­хо­дом, ис­поль­зуемым для по­строе­ния ав­то­мо­дель­ных ре­ше­ний и их обоб­ще­ний, яв­ля­ет­ся при­вле­че­ние групп Ли не­пре­рыв­ных пре­обра­зо­ва­ний и ус­та­нов­ле­ние ин­ва­ри­ант­но­сти за­да­чи от­но­си­тель­но та­ких групп. При этом важ­ное зна­че­ние име­ет оты­ска­ние мак­си­маль­но ши­ро­кой груп­пы пре­об­ра­зо­ва­ний, от­но­си­тель­но ко­то­рой ин­ва­ри­ант­на сис­те­ма диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, опи­сы­ваю­щая дан­ное фи­зич. яв­ле­ние.

При­ме­ры ис­поль­зо­ва­ния свойств А. см. в ст. Ав­то­мо­дель­ное те­че­ние.