МИНКО́ВСКОГО ПРОСТРА́НСТВО-ВРЕ́МЯ

МИНКО́ВСКОГО ПРОСТРА́НСТВО-ВРЕ́МЯ, че­ты­рёх­мер­ное про­стран­ст­во, точ­ка­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся со­бы­тия, ка­ж­дое из ко­то­рых за­да­ёт­ся тре­мя про­стран­ствен­ны­ми де­кар­то­вы­ми ко­ор­дината­ми и вре­ме­нем, ко­гда оно про­изош­ло: $x^μ= (ct, x, y, z)$. Здесь $c$ – ско­рость све­та, ин­декс $μ=0, 1, 2, 3$ ($x^0=ct$ – вре­мен­нáя ко­ор­ди­на­та, $x^1=x, x^2=y, x^3=z$ – про­странствен­ные ко­орди­на­ты). С ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния М. п.-в. яв­ля­ет­ся пло­ским про­стран­ст­вом, на­де­ляе­мым псев­до­евк­ли­до­вой мет­ри­кой (за­даю­щей че­ты­рёх­мер­ный ин­тер­вал s ме­ж­ду со­бы­тия­ми): $$ds^2=η_{μν}dx^μdx^ν=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 , \qquad (1)$$ где $η_{μν}$  – мет­ри­че­ский тен­зор, имею­щий от­лич­ные от ну­ля ком­по­нен­ты. М. п.-в. вве­де­но в фи­зи­ку Г. Мин­ков­ским в 1908 для гео­мет­рич. ин­тер­пре­та­ции спец. тео­рии от­но­си­тель­но­сти (СТО), обоб­щив­шей Га­ли­лея прин­цип от­но­си­тель­но­сти нью­то­нов­ской ме­ха­ни­ки на слу­чай ско­ро­стей, не ма­лых по срав­не­нию со ско­ро­стью све­та. Прин­цип от­но­си­тель­но­сти Га­ли­лея, ут­вер­ждаю­щий не­за­ви­си­мость за­ко­нов ме­ха­ни­ки от вы­бо­ра той или иной инер­ци­аль­ной сис­те­мы от­счё­та (ИСО), ос­но­ван на пред­став­ле­нии об аб­со­лют­ном вре­ме­ни, ко­то­рое те­чёт оди­на­ко­во во всех та­ких сис­те­мах. Урав­не­ния клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ки (Мак­свел­ла урав­не­ния) и ре­ля­ти­ви­ст­ской ме­ха­ни­ки не ин­ва­ри­ант­ны от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний Га­ли­лея, од­на­ко ин­ва­ри­ант­ны от­но­си­тель­но Ло­рен­ца пре­об­ра­зо­ва­ний, ко­то­рые пе­ре­хо­дят в пре­об­ра­зо­ва­ния Га­ли­лея при ско­ро­стях, ма­лых по срав­не­нию со ско­ро­стью све­та. В от­ли­чие от пре­об­ра­зо­ва­ний Га­ли­лея, пре­об­ра­зо­ва­ния Ло­рен­ца вклю­ча­ют так­же пре­об­ра­зо­ва­ние вре­ме­ни, по­это­му ес­ли их ин­тер­пре­ти­ро­вать (что и пред­ла­га­ет­ся в СТО) как пре­об­ра­зо­ва­ния пе­ре­хо­да от од­ной инер­ци­аль­ной сис­те­мы от­счё­та к дру­гой, то вре­мя бу­дет течь не­оди­на­ко­во в разл. ИСО.

М. п.-в. яв­ля­ет­ся ес­те­ст­вен­ной гео­мет­рич. струк­ту­рой для СТО, по­сколь­ку $η_{μν}$ не из­ме­ня­ет­ся при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях Ло­рен­ца. По­это­му урав­не­ния фи­зич. за­ко­нов, за­пи­сан­ные в тер­ми­нах че­ты­рёх­мер­ных ко­ор­ди­нат М. п.-в., ин­ва­ри­ант­ны от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний Ло­рен­ца. Тем са­мым они ав­то­ма­ти­че­ски удов­ле­тво­ря­ют прин­ци­пу от­но­си­тель­но­сти СТО. Фак­ти­че­ски мет­ри­ка М. п.-в. ин­ва­ри­ант­на от­но­си­тель­но бо­лее ши­ро­кой груп­пы пре­об­ра­зо­ва­ний ко­ор­ди­нат – груп­пы Пу­ан­ка­ре, вклю­чаю­щей не толь­ко пре­об­ра­зо­ва­ния Ло­рен­ца, но и сдви­ги на­ча­ла от­счё­та про­стран­ст­вен­ных ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни, по­во­ро­ты про­странствен­ных осей (см. Пу­ан­ка­ре прин­цип от­но­си­тель­но­сти): $$x^μ→x^{'μ} =L_ν^μx^ν + a^ν, \qquad (2)$$ где $a^ν=\text{const}$, а $L_ν^μ$ мат­ри­ца удов­ле­тво­ря­ет со­от­но­ше­ни­ям $$L_μ^λL_ν^τη_{λτ}=η_{μν},$$где по по­вто­ряю­щим­ся ин­дек­сам под­ра­зу­ме­ва­ет­ся сум­ми­ро­ва­ние. Ин­ва­ри­ант­ным от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний (2) яв­ля­ет­ся так­же эле­мент объ­ё­ма в про­стран­ст­ве со­бы­тий $dΩ=c$ $dt$ $dV$, в то вре­мя как про­ме­жу­ток вре­ме­ни $dt$ и эле­мент объ­ё­ма $dV$ по от­дель­но­сти не ин­ва­ри­ант­ны.

Объ­е­ди­не­ние про­стран­ст­ва и вре­ме­ни в еди­ное че­ты­рёх­мер­ное мно­го­об­ра­зие от­ра­жа­ет факт не­аб­со­лют­но­сти про­ме­жут­ков вре­ме­ни и про­стран­ст­вен­ных рас­стоя­ний, ко­то­рые ока­зы­ва­ют­ся за­ви­ся­щи­ми от вы­бо­ра ИСО. На­про­тив, оди­на­ко­вой во всех ИСО яв­ля­ет­ся ско­рость све­та, по­ни­мае­мая как уни­вер­саль­ная ско­рость рас­про­стра­не­ния фи­зич. взаи­мо­дей­ст­вий, ко­то­рая вхо­дит в мет­ри­ку М. п.-в. как по­сто­ян­ная. Про­ме­жу­ток вре­ме­ни и про­стран­ст­вен­ное рас­стоя­ние ме­ж­ду дву­мя со­бы­тия­ми за­ви­сят от то­го, в ка­кой ИСО эти ве­ли­чи­ны из­ме­ря­ют­ся; аб­со­лют­ное зна­че­ние име­ет лишь че­ты­рёх­мер­ный ин­тер­вал ме­ж­ду со­бы­тия­ми, вы­чис­ляе­мый по фор­му­ле (1).

Ес­ли вы­брать на­ча­ло че­ты­рёх­мер­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат в точ­ке, от­ве­чаю­щей не­ко­то­ро­му со­бы­тию $O$, то ми­ро­вые ли­нии све­то­вых лу­чей, ис­хо­дя­щих из $O$, бу­дут об­ра­зо­вы­вать ги­пер­по­верх­ность $c^2t^2=x^2+y^2+z^2$, на­зы­вае­мую све­то­вым ко­ну­сом. Все со­бы­тия, ле­жа­щие внут­ри све­то­во­го ко­ну­са (т. е. в об­лас­ти $c^2t^2>x^2+y^2+z^2$) при $t>0$, про­ис­хо­дят в аб­со­лют­ном бу­ду­щем по от­но­ше­нию к $O$; они от­де­ле­ны от $O$ вре­ме­ни­по­доб­ным (ве­ще­ст­вен­ным) ин­тер­ва­лом (см. Вре­ме­ни­по­доб­ный век­тор). Ана­ло­гич­но, со­бы­тия, ле­жа­щие внут­ри све­то­во­го ко­ну­са при $t<0$, аб­со­лют­но пред­ше­ст­ву­ют со­бы­тию $O$. Об­ласть, ле­жа­щая вне све­то­во­го ко­ну­са (т. е. при $c^2t^2{<}x^2+y^2+z^2$), соответствует со­бы­ти­ям, ко­то­рые не мо­гут на­хо­дить­ся в при­чин­ной свя­зи с $O$; это аб­со­лют­но уда­лён­ная об­ласть, объ­еди­няю­щая со­бы­тия, от­де­лён­ные от $O$ про­стран­ст­вен­но­по­доб­ным (мни­мым) ин­тер­ва­лом (см. Про­стран­ст­вен­но­по­доб­ный век­тор). Временна́я по­сле­до­ва­тель­ность со­бы­тий, раз­де­лён­ных про­стран­ст­вен­но­по­доб­ным ин­тер­ва­лом, не аб­со­лют­на: най­дёт­ся ИСО, в ко­то­рой эти со­бы­тия од­но­вре­мен­ны, од­на­ко су­ще­ст­ву­ют ИСО, в ко­то­рых пер­вое пред­ше­ст­ву­ет вто­ро­му и на­обо­рот.