МЕТРИ́ЧЕСКИЙ ТЕ́НЗОР

МЕТРИ́ЧЕСКИЙ ТЕ́НЗОР, сим­мет­рич­ный ко­ва­ри­ант­ный тен­зор 2-го ран­га, за­даю­щий квад­рат рас­стоя­ния ме­ж­ду точ­ка­ми в диф­фе­рен­ци­руе­мом мно­го­об­ра­зии и ска­ляр­ные про­из­ве­де­ния век­то­ров ка­са­тель­но­го про­стран­ст­ва. М. т. $n$-мер­ного евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах $x^i (i=1, 2,…, n)$ яв­ляет­ся еди­нич­ной мат­ри­цей $δ_{ij}$, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет квад­рат рас­стоя­ния ме­ж­ду лю­бы­ми точ­ка­ми. В ри­ма­но­вом про­стран­ст­ве М. т. $g_{ij}$ за­ви­сит от ко­ор­ди­нат и оп­ре­де­ля­ет рас­стоя­ние ме­ж­ду бес­ко­неч­но близ­ки­ми точ­ка­ми: $dl^2=g_{ij}(x)dx^idx^j$. Квад­рат­ный ко­рень из оп­ре­де­ли­те­ля М. т. за­да­ёт ин­ва­ри­ант­ный эле­мент объ­ё­ма: $dV=\sqrt{\text{det}g_{ij}}dx^1dx^2...dx^n$.

По­ня­ти­ем М. т. поль­зу­ют­ся при опи­са­нии сплош­ной сре­ды, при фор­му­ли­ров­ке тео­рии по­ля в кри­во­ли­ней­ных ко­ор­ди­на­тах, но оно осо­бен­но упот­ре­би­тель­но в от­но­си­тель­но­сти тео­рии и тео­рии тя­го­те­ния.

В спе­ци­аль­ной и об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти ис­поль­зу­ют­ся так­же ин­де­фи­нит­ные (зна­ко­не­оп­ре­де­лён­ные) М. т. (псев­до­евк­ли­до­вы и псев­до­ри­ма­но­вы), ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют квад­рат ин­тер­ва­ла в про­стран­ст­ве со­бы­тий – мно­го­об­ра­зии, точ­ка­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­ты со­бы­тия и вре­мя, в ко­то­рое оно про­изош­ло. Квад­ра­ты ин­тер­ва­лов ме­ж­ду со­бы­тия­ми мо­гут быть по­ло­жи­тель­ны­ми, от­ри­ца­тель­ны­ми или ну­ле­вы­ми.