КАНОНИ́ЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КАНОНИ́ЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЯ в классич. механике, преобразования совокупности канонических переменных $(q, p)$ к новым переменным $(Q, P)$, при которых канонич. уравнения механики (см. Гамильтона уравнения) сохраняют свою форму.
Канонические переменные $q$ и $p$ определяют состояние голономной механич. системы, находящейся в поле потенциальных сил, в любой момент времени $t$ и удовлетворяют уравнениям Гамильтона $$\frac{dq_i}{td}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}(i=1, …, n)\qquad(1)$$ где $H(t, q_i, p_i)$ – Гамильтона функция, $n$ – число степеней свободы системы.
Невырожденные преобразования от переменных $q$ и $p$ к переменным $Q$ и $P$ $$Q=Q(q, p, t),\quad P=P(q, p, t)\qquad(2)$$ называются К. п., если переменные $Q_i$ и $P_i$ также подчиняются уравнениям Гамильтона $$\frac{dQ_i}{dt}=\frac{\partial H'}{\partial p_i},\quad \frac{dP_i}{dt}=\frac{\partial H'}{\partial q_i}(i=1, …, n),\qquad (3)$$ где $H'(t, Q_i, P_i)$ – некоторая новая функция Гамильтона. Предполагается, что соотношения (2) разрешимы относительно старых переменных $$q_i=q_i(Q, P, t), p_i=p_i(Q, P, t)(i=1, …, n).\qquad (4)$$
Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (2) является существование функции $S$ от старых $(q, p)$ и новых $(Q, P)$ переменных и времени $t$, удовлетворяющей равенству $$\sum_{i=1}^n p_idq_i-\sum_{i=1}^n P_i dQ_i+(H'-H)dt=dS.\qquad (5)$$ Функция $S$ называется производящей функцией преобразования. Она может зависеть от всех $4n$ аргументов $q_i, p_i, Q_i, P_i$ и времени $t$. Но поскольку имеются соотношения (2) и (4), достаточно считать её зависящей от $2n$ аргументов и времени, причём $n$ аргументов должно быть старых и $n$ – новых. В частности, если $S=S (q, Q, t)$, то из условия (5) следует, что $$p_i=\frac{\partial S}{\partial q_i}, P_i=-\frac{\partial S}{\partial Q_i}(i=1, …, n), H'=H+\frac{\partial S}{\partial t}. \qquad(6)$$ Если функция $S$ не зависит явно от времени, то $H'(Q, P, t)=H(q, p, t)$, где вместо $q_i$, $p_i$ подставлены их выражения через переменные $Q_i$, $P_i$.
К. п. дают возможность заменить систему канонич. уравнений движения (1) др. канонич. системой (3) с функцией Гамильтона $H'(Q, P, t)$, имеющей более простую структуру. Так, напр., если найдено такое преобразование, что $H'=0$, то решение канонич. уравнений (3) $Q_i(q, p, t)=const, P_i(q, p, t)=const (i=1, …, n)$ является совокупностью $2n$ независимых первых интегралов исходной канонич. системы (1).
Можно показать, что в случае $H'=0$ из условий (5) и (6) следует уравнение для производящей функции $S (q, t)$ $$\frac{\partial S}{\partial t}+H \left( t,q, \frac{\partial S}{\partial q} \right)=0,\qquad(7)$$ которое называется Гамильтона – Якоби уравнением. Тем самым устанавливается связь между методом Гамильтона – Якоби интегрирования канонич. уравнений при помощи нахождения полного интеграла уравнения в частных производных (7) и теорией канонич. преобразований.
Якобиан К. п. равен единице, откуда следует Лиувилля теорема об инвариантности фазового объёма в пространстве канонич. переменных $(q, p)$ относительно К. п. (2).
К. п. удобно использовать в теории возмущений.