КАНОНИ́ЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЯ

КАНОНИ́ЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЯ в клас­сич. ме­ха­ни­ке, пре­об­ра­зо­ва­ния со­во­куп­но­сти ка­но­ни­че­ских пе­ре­мен­ных $(q, p)$ к но­вым пе­ре­мен­ным $(Q, P)$, при ко­то­рых ка­но­нич. урав­не­ния ме­ха­ни­ки (см. Га­миль­то­на урав­не­ния

) со­хра­ня­ют свою фор­му.

Ка­но­ни­че­ские пе­ре­мен­ные $q$ и $p$ оп­ре­де­ля­ют со­стоя­ние го­ло­ном­ной ме­ха­нич. сис­те­мы, на­хо­дя­щей­ся в по­ле по­тен­ци­аль­ных сил, в лю­бой мо­мент вре­ме­ни $t$ и удов­ле­тво­ря­ют урав­не­ни­ям Га­миль­то­на

$$\frac{dq_i}{td}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}(i=1, …, n)\qquad(1)$$ где $H(t, q_i, p_i)$ – Га­миль­то­на функ­ция

 >>

, $n$ – чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды сис­те­мы.

Не­вы­ро­ж­ден­ные пре­об­ра­зо­ва­ния от пе­ре­мен­ных $q$ и $p$ к пе­ре­мен­ным $Q$ и $P$ 

$$Q=Q(q, p, t),\quad P=P(q, p, t)\qquad(2)$$ на­зы­ва­ют­ся К. п., ес­ли пе­ре­мен­ные $Q_i$ и $P_i$ так­же под­чи­ня­ют­ся урав­не­ни­ям Га­миль­то­на $$\frac{dQ_i}{dt}=\frac{\partial H'}{\partial p_i},\quad \frac{dP_i}{dt}=\frac{\partial H'}{\partial q_i}(i=1, …, n),\qquad (3)$$ где $H'(t, Q_i, P_i)$ – не­ко­то­рая но­вая функ­ция Га­миль­то­на. Пред­по­ла­га­ет­ся, что со­от­но­ше­ния (2) раз­ре­ши­мы от­но­си­тель­но ста­рых пе­ре­мен­ных $$q_i=q_i(Q, P, t), p_i=p_i(Q, P, t)(i=1, …, n).\qquad (4)$$

Не­об­хо­ди­мым и дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем ка­но­нич­но­сти пре­об­ра­зо­ва­ния (2) яв­ля­ет­ся су­ще­ст­во­ва­ние функ­ции $S$ от ста­рых $(q, p)$ и но­вых $(Q, P)$ пе­ре­мен­ных и вре­ме­ни $t$, удов­ле­тво­ряю­щей ра­вен­ст­ву

$$\sum_{i=1}^n p_idq_i-\sum_{i=1}^n P_i dQ_i+(H'-H)dt=dS.\qquad (5)$$ Функ­ция $S$ на­зы­ва­ет­ся про­из­во­дя­щей функ­ци­ей

 >>

пре­об­ра­зо­ва­ния. Она мо­жет за­ви­сеть от всех $4n$ ар­гу­мен­тов $q_i, p_i, Q_i, P_i$ и вре­ме­ни $t$. Но по­сколь­ку име­ют­ся со­от­но­ше­ния (2) и (4), дос­та­точ­но счи­тать её за­ви­ся­щей от $2n$ ар­гу­мен­тов и вре­ме­ни, при­чём $n$ ар­гу­мен­тов долж­но быть ста­рых и $n$ – но­вых. В ча­ст­но­сти, ес­ли $S=S (q, Q, t)$, то из ус­ло­вия (5) сле­ду­ет, что $$p_i=\frac{\partial S}{\partial q_i}, P_i=-\frac{\partial S}{\partial Q_i}(i=1, …, n), H'=H+\frac{\partial S}{\partial t}. \qquad(6)$$ Ес­ли функ­ция $S$ не за­ви­сит яв­но от вре­ме­ни, то $H'(Q, P, t)=H(q, p, t)$, где вме­сто $q_i$, $p_i$ под­став­ле­ны их вы­ра­же­ния че­рез пе­ре­мен­ные $Q_i$, $P_i$.

К. п. да­ют воз­мож­ность за­ме­нить сис­те­му ка­но­нич. урав­не­ний дви­же­ния (1) др. ка­но­нич. сис­те­мой (3) с функ­ци­ей Га­миль­то­на $H'(Q, P, t)$, имею­щей бо­лее про­стую струк­ту­ру. Так, напр., ес­ли най­де­но та­кое пре­об­ра­зо­ва­ние, что $H'=0$, то ре­ше­ние ка­но­нич. урав­не­ний (3) $Q_i(q, p, t)=const, P_i(q, p, t)=const (i=1, …, n)$ яв­ля­ет­ся со­во­куп­но­стью $2n$ не­за­ви­си­мых пер­вых ин­те­гра­лов ис­ход­ной ка­но­нич. сис­те­мы (1).

Мож­но по­ка­зать, что в слу­чае $H'=0$ из ус­ло­вий (5) и (6) сле­ду­ет урав­не­ние для про­из­во­дя­щей функ­ции $S (q, t)$

$$\frac{\partial S}{\partial t}+H \left( t,q, \frac{\partial S}{\partial q} \right)=0,\qquad(7)$$ ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся Га­миль­то­на – Яко­би урав­не­ни­ем

 >>

. Тем са­мым ус­та­нав­ли­ва­ет­ся связь ме­ж­ду ме­то­дом Га­миль­то­на – Яко­би ин­тег­ри­ро­ва­ния ка­но­нич. урав­не­ний при по­мо­щи на­хо­ж­де­ния пол­но­го ин­те­гра­ла урав­не­ния в ча­ст­ных про­из­вод­ных (7) и тео­ри­ей ка­но­нич. пре­об­ра­зо­ва­ний.

Яко­би­ан

К. п. ра­вен еди­ни­це, от­ку­да сле­ду­ет Лиу­вил­ля тео­ре­ма

 >>

об ин­ва­ри­ант­но­сти фа­зо­во­го объ­ё­ма в про­стран­ст­ве ка­но­нич. пе­ре­мен­ных $(q, p)$ от­но­си­тель­но К. п. (2).

К. п. удоб­но ис­поль­зо­вать в тео­рии воз­му­ще­ний.