ЛО́ГИКА ПРЕДИКА́ТОВ

ЛО́ГИКА ПРЕДИКА́ТОВ, раз­дел со­вре­мен­ной сим­во­ли­че­ской ло­ги­ки, изу­чаю­щий рас­су­ж­де­ния и др. язы­ко­вые кон­тек­сты с учё­том внут­рен­ней струк­ту­ры вхо­дя­щих в них про­стых вы­ска­зы­ва­ний; при этом вы­ра­же­ния язы­ка трак­ту­ют­ся функ­цио­наль­но, т. е. как зна­ки не­ко­то­рых функ­ций или ар­гу­мен­тов этих функ­ций.

Важ­ней­шая осо­бен­ность Л. п. со­сто­ит в том, что т. н. об­щие име­на (напр., «че­ло­век», «го­род», «ме­талл»), зна­ки свойств («бе­лый», «ум­ный», «элек­тро­про­вод­ный») и зна­ки от­но­ше­ний («стар­ше», «се­вер­нее», «тя­же­лее») рас­смат­ри­ва­ют­ся как при­над­ле­жа­щие од­ной ка­те­го­рии зна­ков, а имен­но ка­те­го­рии пре­ди­кат­ных сим­во­лов, ре­пре­зен­ти­ру­ющих функ­ции, воз­мож­ны­ми ар­гумен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся объ­ек­ты не­ко­то­ро­го уни­вер­су­ма рас­смот­ре­ния, а зна­че­ния­ми – ис­тин­но­ст­ные оцен­ки (в клас­сич. ло­ги­ке – это «ис­ти­на» и «ложь»). Пре­ди­кат­ные сим­во­лы раз­ли­ча­ют­ся сво­ей ме­ст­но­стью: сим­во­лы, пред­став­ляю­щие пред­мет­но-ис­тин­но­ст­ные функ­ции от од­но­го ар­гу­мен­та, на­зы­ва­ют­ся од­но­ме­ст­ны­ми, от двух ар­гу­мен­тов – двух­ме­ст­ны­ми и т. д. (напр., пре­ди­кат­ный сим­вол «че­ло­век» од­но­ме­ст­ный, а «се­вер­нее» двух­ме­ст­ный).

Дру­гой от­ли­чит. чер­той Л. п. яв­ля­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние осо­бо­го ти­па ло­гич. сим­во­лов – кван­то­ров и свя­зы­вае­мых ими (кван­ти­фи­ци­руе­мых) пе­ре­мен­ных для вос­про­из­ве­де­ния ло­гич. форм мно­же­ст­вен­ных вы­ска­зы­ва­ний. Кван­ти­фи­ци­руе­мые пе­ре­мен­ные «про­бе­га­ют» по мно­же­ст­ву всех объ­ек­тов рас­смот­ре­ния, а роль кван­то­ра со­сто­ит в ука­за­нии на ту часть объ­ек­тов это­го мно­же­ст­ва, для ко­то­рых спра­вед­ли­во со­дер­жа­щее­ся в вы­ска­зы­ва­нии ут­вер­жде­ние. Наи­бо­лее упот­ре­би­мы в ло­ги­ке кван­тор общ­но­сти $∀$ (в ес­теств. язы­ке ему со­от­вет­ст­ву­ют тер­ми­ны ти­па «вся­кий», «ка­ж­дый», «лю­бой», «про­из­воль­ный») и кван­тор су­ще­ст­во­ва­ния $∃$ («су­ще­ст­ву­ет», «най­дёт­ся», «име­ет­ся», «не­ко­то­рый»).

Л. п. как раз­дел сим­во­лич. ло­ги­ки вклю­ча­ет в се­бя ло­гич. тео­рии раз­ных ти­пов, от­ли­чаю­щие­ся как вы­ра­зи­тель­ны­ми воз­мож­но­стя­ми язы­ков, в ко­то­рых они фор­му­ли­ру­ют­ся, так и клас­са­ми вы­де­ляе­мых в них ло­ги­че­ских за­ко­нов.

Раз­ли­ча­ют Л. п. пер­во­го по­ряд­ка и Л. п. выс­ших по­ряд­ков. В Л. п. пер­во­го по­ряд­ка име­ет­ся лишь один тип кван­ти­фи­ци­руе­мых пе­ре­мен­ных – пред­мет­ные (ин­ди­вид­ные) пе­ре­мен­ные, воз­мож­ны­ми зна­че­ния­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся ин­ди­ви­ды (струк­ту­ра мно­же­ст­вен­ных вы­ска­зы­ва­ний вос­про­из­во­дит­ся здесь по­сред­ст­вом фор­мул ви­да $∀xA$ – «Для вся­ко­го ин­ди­ви­да $x$ вер­но, что $A$», $∃xA$ – «Су­ще­ст­ву­ет ин­ди­вид $x$, та­кой, что $A$»). В Л. п. вто­ро­го по­ряд­ка до­пол­ни­тель­но вво­дят­ся пе­ре­мен­ные для раз­ли­че­ния при­зна­ков ин­ди­ви­дов – их свойств и от­но­ше­ний ме­ж­ду ни­ми (эти пе­ре­мен­ные то­же раз­ре­ша­ет­ся свя­зы­вать кван­то­ра­ми, по­лу­чая вы­ра­же­ния ти­па $∀PA$ – «Для вся­ко­го свой­ст­ва $P$ вер­но, что $A$», $∃RA$ – «Су­ще­ст­ву­ет от­но­ше­ние $R$, та­кое, что $A$»); в Л. п. третье­го по­ряд­ка раз­ре­ша­ет­ся кван­ти­фи­ка­ция по при­зна­кам при­зна­ков ин­ди­ви­дов и т. д.

Вы­де­ля­ют так­же од­но­сорт­ные и мно­го­сорт­ные сис­те­мы Л. п.: в од­но­сорт­ной Л. п. все пе­ре­мен­ные, при­над­ле­жа­щие к од­но­му и то­му же ти­пу, име­ют оди­на­ко­вую об­ласть про­бе­га; в мно­го­сорт­ной Л. п. с ка­ж­дой пе­ре­мен­ной свя­зы­ва­ет­ся собств. мно­же­ст­во её воз­мож­ных зна­че­ний.

Л. п. вклю­ча­ет как клас­сич., так и не­клас­сич. ло­гич. тео­рии. В ос­но­ве клас­сич. Л. п. ле­жат об­щие для всех клас­сич. сис­тем ло­ги­ки дву­знач­но­сти прин­цип и прин­цип экс­тен­сио­наль­но­сти (зна­че­ние слож­но­го вы­ра­же­ния за­ви­сит толь­ко от зна­че­ний со­став­ляю­щих его вы­раже­ний). Кро­ме то­го, в клас­сич. Л. п. при­ни­ма­ют­ся спе­ци­фи­че­ские имен­но для кван­тор­ной тео­рии пред­по­сыл­ки эк­зи­стен­ци­аль­но­го ха­рак­те­ра – до­пу­ще­ние о су­ще­ст­во­ва­нии объ­ек­тов в пред­мет­ной об­лас­ти и су­ще­ст­во­ва­нии де­но­та­тов у син­гу­ляр­ных (еди­нич­ных) тер­ми­нов. В не­клас­сич. пре­ди­кат­ных сис­те­мах в той или иной фор­ме про­ис­хо­дит пе­ресмотр ука­зан­ных прин­ци­пов. Напр., в сво­бод­ной ло­ги­ке от­ка­зы­ва­ют­ся от обя­зат. су­ще­ст­во­ва­ния ин­ди­ви­дов в об­лас­ти ин­тер­пре­та­ции, а так­же до­пус­ка­ет­ся пус­то­та еди­нич­ных тер­ми­нов.

Язык клас­сич. Л. п. пер­во­го по­ряд­ка за­да­ёт­ся сле­дую­щим об­ра­зом. В ка­че­ст­ве ло­гич. сим­во­лов вво­дят­ся не­ко­то­рая функ­цио­наль­но пол­ная сис­те­ма про­по­зи­цио­наль­ных свя­зок (см. Ло­ги­ка вы­ска­зы­ва­ний) и кван­то­ры. В ал­фа­ви­те со­дер­жит­ся так­же бес­ко­неч­ный спи­сок пред­мет­ных (ин­ди­вид­ных) пе­ре­мен­ных. Сре­ди не­ло­гич. сим­во­лов обя­за­тель­но на­ли­чие не­пус­то­го мно­же­ст­ва пре­ди­кат­ных кон­стант – ана­ло­га пре­ди­кат­ных сим­во­лов ес­теств. язы­ка. Кро­ме то­го, в ал­фа­вит мо­гут быть вве­де­ны не­ло­гич. сим­во­лы дру­гих ти­пов: пред­мет­ные кон­стан­ты – ана­ло­ги собств. имён ес­теств. язы­ка, а так­же пред­мет­но-функ­цио­наль­ные кон­стан­ты разл. ме­ст­но­сти – ана­ло­ги пред­мет­ных функ­то­ров (напр., «+», «воз­раст», «рас­стоя­ние от... до...»). Тех­нич. сим­во­ла­ми ал­фа­ви­та яв­ля­ют­ся ле­вая и пра­вая скоб­ки и за­пя­тая. В Л. п. име­ет­ся два ти­па пра­виль­но по­стро­ен­ных вы­ра­же­ний – тер­мы (ана­ло­ги лю­бых имён) и фор­му­лы (ана­ло­ги пред­ло­же­ний).

Се­ман­тич. по­строе­ние клас­си­че­ской од­но­сорт­ной Л. п. пер­во­го по­ряд­ка мо­жет осу­ще­ст­в­лять­ся разл. спо­со­ба­ми. Наи­бо­лее из­вест­ны объ­ект­ная и под­ста­но­воч­ная се­ман­ти­ки Л. п. Суть объ­ект­ной се­ман­ти­ки со­сто­ит в вы­бо­ре не­ко­то­рой не­пус­той пред­мет­ной об­лас­ти $U$ (уни­вер­су­ма рас­смот­ре­ния) и ин­тер­пре­ти­рую­щей функ­ции $I$, со­пос­тав­ляю­щей с не­ло­гич. сим­во­ла­ми язы­ка не­кие сущ­но­сти (ин­ди­ви­ды, пред­мет­но-ис­тин­но­ст­ные и пред­мет­ные функ­ции), ре­ля­ти­ви­зи­ро­ван­ные от­но­си­тель­но $U$. Па­ру <$U,I$> на­зы­ва­ют мо­де­лью или воз­мож­ной реа­ли­за­ци­ей. Да­лее за­да­ют­ся пра­ви­ла при­пи­сы­ва­ния зна­че­ний тер­мам и фор­му­лам в мо­де­ли <$U,I$>. При этом фор­му­ла $∀xA$ ис­тин­на в том слу­чае, ко­гда $A$ ис­тин­но, ка­кой бы объ­ект из $U$ мы ни при­пи­са­ли в ка­че­ст­ве зна­че­ния пе­ре­мен­ной $x$ (со­хра­нив при этом зна­че­ния ос­таль­ных пе­ре­мен­ных), а $∃xA$ ис­тин­на, ес­ли в уни­вер­су­ме най­дёт­ся та­кой объ­ект, что при со­пос­тав­ле­нии его в ка­че­ст­ве зна­че­ния пе­ре­мен­ной $x$ фор­му­ла $A$ ока­зы­ва­ет­ся ис­тин­ной. За­ко­на­ми Л. п. объ­яв­ля­ют­ся фор­му­лы, ис­тин­ные в ка­ж­дой мо­де­ли <$U,I$> (уни­вер­саль­но об­ще­зна­чи­мые фор­му­лы). Смысл под­ста­но­воч­ной се­ман­ти­ки со­сто­ит в фор­му­ли­ров­ке та­ких кри­те­ри­ев ис­тин­но­сти и лож­но­сти пред­ло­же­ний язы­ка, ко­то­рые не пред­по­ла­га­ют со­от­не­се­ния по­след­них с вне­язы­ко­вой дей­ст­ви­тель­но­стью, а опи­ра­ют­ся толь­ко на ин­фор­ма­цию о зна­че­ни­ях эле­мен­тар­ных фор­мул. Здесь тео­рия по­ни­ма­ет­ся как де­дук­тив­но замк­нутое мно­же­ст­во пред­ло­же­ний язы­ка. Пред­ло­же­ние ви­да $∀xA$ ($∃xA$) объ­яв­ля­ет­ся ис­тин­ным в тео­рии, ес­ли со­от­вет­ст­вую­щее бес­кван­тор­ное ут­вер­жде­ние спра­вед­ли­во для лю­бо­го (хо­тя бы для од­но­го) еди­нич­но­го тер­ми­на, при­над­ле­жа­ще­го сло­ва­рю дан­ной тео­рии.

Класс уни­вер­саль­но об­ще­зна­чи­мых фор­мул Л. п. пер­во­го по­ряд­ка мо­жет быть фор­ма­ли­зо­ван, т. е. су­ще­ст­ву­ют ис­чис­ле­ния (син­так­си­че­ски по­стро­ен­ные ло­гич. сис­те­мы), клас­сы тео­рем ко­то­рых сов­па­да­ют со мно­же­ст­вом за­ко­нов се­ман­ти­че­ски по­стро­ен­ной Л. п. (см. Пре­ди­ка­тов ис­чис­ле­ние). Дан­ный факт впер­вые ус­та­нов­лен К. Гё­де­лем (1930). Л. п. выс­ших по­ряд­ков яв­ля­ют­ся прин­ци­пи­аль­но не­фор­ма­ли­зуе­мы­ми, т. е. нель­зя по­стро­ить аде­к­ват­ные им ис­чис­ле­ния.

Сре­ди др. ме­та­те­о­ре­тич. свойств Л. п. сле­ду­ет от­ме­тить её не­раз­ре­ши­мость (от­сут­ст­вие эф­фек­тив­ной про­це­ду­ры, по­зво­ляю­щей в ко­неч­ное чис­ло ша­гов оп­ре­де­лять, яв­ля­ет­ся ли про­из­воль­ная фор­му­ла за­ко­ном Л. п.), ус­та­нов­лен­ную А. Чёр­чем (1936), и син­так­сич. не­пол­но­ту ис­чис­ле­ния пре­ди­ка­тов (т. е. воз­мож­ность до­бав­ле­ния в ка­че­ст­ве но­вых ак­си­ом не­ко­то­рых не­до­ка­зуе­мых фор­мул без по­лу­че­ния в сис­те­ме про­ти­во­ре­чия). По­след­нее да­ёт воз­мож­ность по­строе­ния на ба­зе Л. п. не­три­ви­аль­ных при­клад­ных тео­рий. В этом слу­чае вме­сто аб­ст­ракт­ных пред­мет­ных, пре­ди­кат­ных и пред­мет­но-функ­цио­наль­ных кон­стант в ал­фа­вит вво­дят­ся кон­крет­ные тер­ми­ны сло­ва­ря тео­рии – име­на объ­ек­тов её пред­мет­ной об­лас­ти, зна­ки их свойств и от­но­ше­ний, зна­ки за­дан­ных на дан­ной об­лас­ти пред­мет­ных функ­ций. Са­ми при­клад­ные тео­рии пер­во­го по­ряд­ка (их час­то на­зы­ва­ют эле­мен­тар­ны­ми) стро­ят­ся обыч­но ак­сио­ма­ти­че­ски: к ло­гич. час­ти (ак­сио­мам и пра­ви­лам вы­во­да ис­чис­ле­ния пре­ди­ка­тов) до­бав­ля­ет­ся собств. часть при­клад­ной тео­рии – по­сту­ла­ты, от­ра­жаю­щие за­ко­но­мер­но­сти её пред­мет­ной об­лас­ти. Про­стей­ши­ми при­ме­ра­ми тео­рий пер­во­го по­ряд­ка яв­ля­ют­ся т. н. тео­рии (ло­ги­ки) от­но­ше­ний: Л. п. с ра­вен­ст­вом, тео­рия от­но­ше­ний эк­ви­ва­лент­но­сти, разл. тео­рии по­ряд­ка. Наи­бо­лее из­вест­ная эле­мен­тар­ная тео­рия – сис­те­ма фор­маль­ной ариф­ме­ти­ки Дж. Пеа­но.