ЛО́ГИКА ВЫСКА́ЗЫВАНИЙ

ЛО́ГИКА ВЫСКА́ЗЫВАНИЙ (про­по­зи­цио­наль­ная ло­ги­ка), раз­дел сим­во­ли­че­ской ло­ги­ки, изу­чаю­щий рас­су­ж­де­ния и др. язы­ко­вые кон­тек­сты без учё­та внут­рен­ней струк­ту­ры вхо­дя­щих в них про­стых вы­ска­зы­ва­ний. Язык Л. в. со­дер­жит не­ло­гич. сим­во­лы толь­ко од­но­го ти­па– про­по­зи­цио­наль­ные пе­ре­мен­ные, ко­то­рые яв­ля­ют­ся эле­мен­тар­ны­ми фор­му­ла­ми и вы­сту­па­ют в ро­ли па­ра­мет­ров про­стых вы­ска­зы­ва­ний при вы­яв­ле­нии ло­гич. фор­мы кон­тек­стов ес­теств. язы­ка. Ло­гич. сим­во­лы в Л. в. так­же толь­ко од­но­го ти­па: это про­по­зи­цио­наль­ные связ­ки, об­ра­зую­щие из ме­нее слож­ных фор­мул (пред­ло­же­ний) бо­лее слож­ные. Наи­бо­лее упот­ре­би­мы сле­дую­щие про­по­зи­цио­наль­ные связ­ки: ¬  – от­ри­ца­ние («не­вер­но, что»), & – конъ­юнк­ция («и»), ∨ – не­стро­гая дизъ­юнк­ция («или»), ∨  – стро­гая дизъ­юнк­ция («ли­бо… ли­бо»), → – им­пли­ка­ция («ес­ли… то»), ↔ – эк­ви­ва­лен­ция («ес­ли и толь­ко ес­ли»).

Л. в. как раз­дел ло­ги­ки вклю­ча­ет мно­же­ст­во ло­гич. сис­тем. Наи­бо­лее фун­да­мен­таль­ной сре­ди них яв­ля­ет­ся клас­сич. Л. в., в ос­но­ве ко­то­рой ле­жат дву­знач­но­сти прин­цип и прин­цип экс­тен­сио­наль­но­сти (зна­че­ние слож­но­го, пра­виль­но по­стро­ен­но­го вы­ра­же­ния за­ви­сит толь­ко от зна­че­ний со­став­ляю­щих его вы­раже­ний). В этой тео­рии до­пус­ти­мы­ми ин­тер­пре­та­ция­ми про­по­зи­цио­наль­ных пе­ре­мен­ных яв­ля­ют­ся оцен­ки «ис­ти­на» и «ложь», и ка­ж­дая фор­му­ла (при оп­ре­де­лён­ной ин­тер­пре­та­ции пе­ре­мен­ных) мо­жет иметь ров­но од­но из двух ука­зан­ных зна­че­ний. Про­по­зи­цио­наль­ные связ­ки рас­смат­ри­ва­ют­ся здесь как зна­ки функ­ций ис­тин­но­сти, т. е. функ­ций, ар­гу­мен­та­ми и зна­че­ния­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся ис­тин­но­ст­ные оцен­ки – эле­мен­ты мно­же­ст­ва {ис­ти­на, ложь}. Ус­ло­вия ис­тин­но­сти и лож­но­сти слож­ных фор­мул язы­ка клас­сич. Л. в. за­да­ют­ся сле­дую­щи­ми таб­ли­ца­ми, где И – «ис­ти­на» и Л – «ложь».

За­ко­на­ми клас­сич. Л. в. (то­ж­де­ст­вен­но-ис­тин­ны­ми фор­му­ла­ми, или тав­то­ло­гия­ми) на­зы­ва­ют­ся фор­му­лы, при­ни­маю­щие зна­че­ние «ис­ти­на» при лю­бых на­бо­рах зна­че­ний вхо­дя­щих в них про­по­зи­цио­наль­ных пе­ре­мен­ных. Из мно­же­ст­ва фор­мул G ло­ги­че­ски сле­ду­ет фор­му­ла А, ес­ли и толь­ко ес­ли при всех ин­тер­пре­та­ци­ях пе­ре­мен­ных, при ко­то­рых ка­ж­дая фор­му­ла из G при­ни­ма­ет зна­че­ние «ис­ти­на», А так­же при­ни­ма­ет зна­че­ние «ис­ти­на».

В си­лу то­го что мно­же­ст­во функ­ций ис­тин­но­сти бес­ко­неч­но, в Л. в. ва­жен во­прос о су­ще­ст­во­ва­нии ко­неч­ных на­бо­ров про­по­зи­цио­наль­ных свя­зок (их на­зы­ва­ют функ­цио­наль­но пол­ны­ми сис­те­ма­ми свя­зок), та­ких, что лю­бая функ­ция ис­тин­но­сти мо­жет быть вы­ра­же­на фор­му­лой, со­дер­жа­щей лишь связ­ки из дан­но­го на­бо­ра. При­ме­ры функ­цио­наль­но пол­ных сис­тем свя­зок: {¬, &}, {¬, ∨}, {¬, →}.

Не­клас­сич. сис­те­мы Л. в. по­лу­ча­ют­ся за счёт от­ка­за от прин­ци­пов, ле­жа­щих в ос­но­ве клас­сич. ло­ги­ки. Так, в мно­го­знач­ной ло­ги­ке су­ще­ст­ву­ют бо­лее чем две ис­тин­но­ст­ные оцен­ки фор­мул. В мо­даль­ной ло­ги­ке рас­смат­ри­ва­ют­ся осо­бые про­по­зи­цио­наль­ные связ­ки – мо­даль­ные опе­ра­то­ры, не яв­ляю­щие­ся зна­ка­ми фун­к­ций ис­тин­но­сти (не­об­хо­ди­мость, воз­мож­ность, слу­чай­ность и др.). Ре­ле­вант­ная ло­ги­ка ста­вит сво­ей за­да­чей аде­кват­ную ло­гич. экс­пли­ка­цию ус­лов­ной свя­зи, ка­ко­вой нель­зя счи­тать им­пли­ка­цию клас­сич. Л. в., т. к. она яв­ля­ет­ся экс­тен­сио­наль­ной связ­кой и не вы­ра­жа­ет со­дер­жат. от­но­ше­ний ме­ж­ду вы­ска­зы­ва­ния­ми.

Ос­но­вы Л. в. бы­ли за­ло­же­ны в ло­ги­ке стои­ков. Мн. за­ко­ны этой тео­рии и фор­мы пра­виль­ных рас­су­ж­де­ний вы­де­ле­ны в ср.-век. ло­ги­ке. В совр. ви­де Л. в. оформ­ле­на в ра­бо­тах Г. Фре­ге, Б. Рас­се­ла и А. Уайт­хе­да, а так­же Д. Гиль­бер­та и его уче­ни­ков.