ФУРЬЕ́ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФУРЬЕ́ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, одно из интегральных преобразований; функция $g(t)$, $–∞ < t < ∞$, является преобразованием Фурье функции $f(x)$, модуль которой интегрируем, если$$g(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}f(x)dx=F[f].$$При достаточно широких условиях функцию $f(x)$ можно восстановить по её Ф. п.:$$f(x)=F^{-1}[g]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}g(t)dt$$
Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще операции над ними. Напр., операции дифференцирования соответствует операция умножения на $it$, т. е. Ф. п. функции $f'(x)$ является функция $itg(t)$; операции свёртки функций соответствует операция умножения Ф. п., т. е. Ф. п. функции$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x-y)f_2(y)dy$$есть $g(t)=g_1(t)g_2(t)$.
Ф. п. можно рассматривать и для функций с интегрируемым квадратом, при этом справедливо равенство$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt$$(теорема Планшереля). Это равенство является обобщением на Ф. п. Парсеваля равенства для Фурье ряда.
Ф. п. можно рассматривать и для более общих классов функций, напр. для обобщённых функций. Рассматриваются и обобщения Ф. п. Одно из них, преобразование Фурье – Стилтьеса, рассматривается в теории вероятностей и называется характеристической функцией.
Ф. п., появившееся в теории теплопроводности, имеет многочисл. применения как в самой математике (напр., при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций), так и в разл. разделах теоретич. физики. Напр., Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики, в теории рассеяния.