ФУРЬЕ́ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ

ФУРЬЕ́ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, од­но из ин­те­граль­ных пре­об­ра­зо­ва­ний; функ­ция $g(t)$, $–∞ < t < ∞$, яв­ля­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ни­ем Фу­рье функ­ции $f(x)$, мо­дуль ко­то­рой ин­тег­ри­ру­ем, ес­ли $$g(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}f(x)dx=F[f].$$ При дос­та­точ­но ши­ро­ких ус­ло­ви­ях функ­цию $f(x)$ мож­но вос­ста­но­вить по её Ф. п.: $$f(x)=F^{-1}[g]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}g(t)dt$$

Ка­ж­дой опе­ра­ции над функ­ция­ми со­от­вет­ст­ву­ет опе­ра­ция над их Ф. п., ко­то­рая во мно­гих слу­ча­ях про­ще опе­ра­ции над ни­ми. Напр., опе­ра­ции диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния со­от­вет­ст­ву­ет опе­ра­ция ум­но­же­ния на $it$, т. е. Ф. п. функ­ции $f'(x)$ яв­ля­ет­ся функ­ция $itg(t)$; опе­ра­ции свёрт­ки функ­ций

со­от­вет­ст­ву­ет опе­ра­ция ум­но­же­ния Ф. п., т. е. Ф. п. функ­ции $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x-y)f_2(y)dy$$ есть $g(t)=g_1(t)g_2(t)$.

Ф. п. мож­но рас­смат­ри­вать и для функ­ций с ин­тег­ри­руе­мым квад­ра­том, при этом спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt$$ (тео­ре­ма План­ше­ре­ля). Это ра­вен­ст­во яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем на Ф. п. Пар­се­ва­ля ра­вен­ст­ва

для Фу­рье ря­да

 >>

.

Ф. п. мож­но рас­смат­ри­вать и для бо­лее об­щих клас­сов функ­ций, напр. для обоб­щён­ных функ­ций

. Рас­смат­ри­ва­ют­ся и обоб­ще­ния Ф. п. Од­но из них, пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье – Стил­ть­е­са, рас­смат­ри­ва­ет­ся в тео­рии ве­ро­ят­но­стей и на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ской функ­ци­ей

 >>

.

Ф. п., поя­вив­шее­ся в тео­рии те­п­ло­про­вод­но­сти, име­ет мно­го­числ. при­ме­не­ния как в са­мой ма­те­ма­ти­ке (напр., при ре­ше­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных, раз­но­ст­ных и ин­те­граль­ных урав­не­ний, в тео­рии спе­ци­аль­ных функ­ций), так и в разл. раз­де­лах тео­ре­тич. фи­зи­ки. Напр., Ф. п. ста­ло стан­дарт­ным ап­па­ра­том кван­то­вой тео­рии по­ля, ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся в ме­то­де функ­ций Гри­на для не­рав­но­вес­ных за­дач кван­то­вой ме­ха­ни­ки, в тео­рии рас­сея­ния.