ОБОБЩЁННАЯ ФУ́НКЦИЯ

ОБОБЩЁННАЯ ФУ́НКЦИЯ, ли­ней­ный фу­нк­цио­нал над тем или иным про­стран­ст­вом фу­нк­ций, обоб­ще­ние клас­си­че­ско­го по­ня­тия функ­ции. По­треб­ность в та­ком обоб­ще­нии воз­ни­ка­ет во мно­гих ма­те­ма­тич. и фи­зич. за­да­чах. По­ня­тие О. ф., с од­ной сто­ро­ны, да­ёт воз­мож­ность вы­ра­зить в ма­те­ма­ти­че­ски кор­рект­ной фор­ме та­кие идеа­ли­зи­ро­ван­ные по­ня­тия, как плот­ность мас­сы ма­те­ри­аль­ной точ­ки, (про­стран­ст­вен­ная) плот­ность про­сто­го или двой­но­го слоя, ин­тен­сив­ность мгно­вен­но­го ис­точ­ни­ка и т. д. С дру­гой сто­ро­ны, в по­ня­тии О. ф. на­хо­дит от­ра­же­ние тот факт, что ре­аль­но нель­зя из­ме­рить зна­че­ние фи­зич. ве­ли­чи­ны в точ­ке, а мож­но из­ме­рять лишь её сред­ние зна­че­ния в дос­та­точ­но ма­лых ок­ре­ст­но­стях дан­ной точ­ки. По­это­му О. ф. яв­ля­ют­ся аде­к­ват­ным ап­па­ра­том для опи­са­ния рас­пре­де­ле­ний разл. фи­зич. ве­ли­чин, в свя­зи с чем О. ф. ино­гда на­зы­ва­ют рас­пре­де­ле­ния­ми.

О. ф. вве­де­ны в кон. 1920-х гг. П. Ди­ра­ком в его ис­сле­до­ва­ни­ях по кван­то­вой ме­ха­ни­ке, где он сис­те­ма­тич. ис­поль­зо­вал по­ня­тие $δ$-функ­ции и её про­из­вод­ных. Ос­но­вы ма­те­ма­тич. тео­рии О. ф. за­ло­же­ны С. Л. Со­бо­ле­вым (1936); он ис­поль­зо­вал О. ф. при ре­ше­нии за­да­чи Ко­ши для ги­пер­бо­лич. урав­не­ний. Во 2-й пол. 1940-х гг. Л. Шварц дал сис­те­ма­тич. из­ло­же­ние тео­рии О. ф. В даль­ней­шем тео­рия О. ф. ин­тен­сив­но раз­ви­ва­лась мн. ма­те­ма­ти­ка­ми, гл. обр. в свя­зи с по­треб­но­стя­ми ма­те­ма­тич. фи­зи­ки и тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Тео­рия О. ф. име­ет мно­го­числ. при­ме­не­ния и всё ши­ре вхо­дит в оби­ход фи­зи­ков, ма­те­ма­ти­ков и ин­же­не­ров.

Фор­маль­но О. ф. оп­ре­де­ля­ют­ся как не­пре­рыв­ные ли­ней­ные функ­цио­на­лы над тем или иным век­тор­ным про­стран­ст­вом {$φ(x)$} осн. функ­ций. Осн. про­стран­ст­вом функ­ций яв­ля­ет­ся, напр., со­во­куп­ность бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­мых фи­нит­ных функ­ций, снаб­жён­ная над­ле­жа­щей схо­ди­мо­стью. При этом обыч­ные ло­каль­но сум­ми­руе­мые функ­ции $f(x)$ ото­жде­ст­в­ля­ют­ся с функ­цио­на­ла­ми (ре­гу­ляр­ны­ми О. ф.) ви­да$$(f, φ)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)φ(x)dx.\tag1$$Про­из­вод­ная О. ф. $f $оп­ре­де­ля­ет­ся как функ­цио­нал $f'$, за­да­вае­мый ра­вен­ст­вом$$(f', φ)=-(f, φ′).\tag2$$При та­ком со­гла­ше­нии ка­ж­дая О. ф. бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­ма (в обоб­щён­ном смыс­ле). Ра­вен­ст­во (2) в си­лу ра­вен­ст­ва (1) есть не что иное, как обоб­ще­ние фор­му­лы ин­тег­ри­ро­ва­ния по час­тям для диф­фе­рен­ци­руе­мых в обыч­ном смыс­ле функ­ций $f(x$), так что в этом слу­чае оба по­ня­тия про­из­вод­ной сов­па­да­ют.

Схо­ди­мость на (ли­ней­ном) мно­же­ст­ве О. ф. вво­дит­ся как сла­бая схо­ди­мость функ­цио­на­лов. Ока­зы­ва­ет­ся, что опе­ра­ция диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния О. ф. не­пре­рыв­на, а схо­дя­щая­ся по­сле­до­ва­тель­ность О. ф. до­пус­ка­ет по­член­ное диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние лю­бое чис­ло раз.

Вво­дят­ся и др. опе­ра­ции над О. ф., напр. свёрт­ка функ­ций, Фу­рье пре­обра­зо­ва­ние, Ла­п­ла­са пре­об­ра­зо­ва­ние. Тео­рия этих опе­ра­ций при­об­ре­та­ет наи­бо­лее про­стую и за­кон­чен­ную фор­му в рам­ках по­ня­тия О. ф., рас­ши­ряю­щих воз­мож­но­сти клас­сич. ма­те­ма­тич. ана­ли­за. По­это­му ис­поль­зо­ва­ние О. ф. су­ще­ст­вен­но рас­ши­ря­ет круг рас­смат­ри­вае­мых за­дач и к то­му же при­во­дит к зна­чит. уп­ро­ще­ни­ям, об­лег­чая эле­мен­тар­ные опе­ра­ции.

При­ме­ром О. ф. яв­ля­ет­ся $δ$-функ­ция Ди­ра­ка, оп­ре­де­ляе­мая ра­вен­ст­вом $(δ, φ)=φ(0)$, ко­то­рая опи­сы­ва­ет плот­ность еди­нич­ной мас­сы (за­ря­да), со­сре­до­то­чен­ной в точ­ке $x=0$, а так­же еди­нич­ный им­пульс. Дру­гой при­мер да­ёт функ­ция Хе­ви­сай­да $θ(x)=0, x⩽0; θ(x)=1, x>0;$ про­из­вод­ная от неё рав­на еди­нич­но­му им­пуль­су.