МЕ́ТРИКА

МЕ́ТРИКА в ма­те­ма­ти­ке, рас­стоя­ние, оп­ре­де­лён­ное для лю­бых двух эле­мен­тов (то­чек) не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва $X$. Точ­нее, М. – функ­ция $d(x,y)$, оп­ре­де­лён­ная для лю­бых двух эле­мен­тов $x,y$ из $X$, удов­ле­тво­ряю­щая ус­ло­ви­ям: $$d(x,y)⩾0 \quad \text и \quad d(x,y)=0\quad \text {то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда} \quad x=y; $$  $$d(x,y)=d(y,x) \quad \text (сим­мет­рия); $$  $$d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z) \quad \text {для лю­бой трой­ки эле­мен­тов} \quad x,y,z∈X \quad \text {(не­ра­вен­ство тре­уголь­ни­ка).}$$ На­зва­ние по­след­не­го свой­ст­ва про­ис­хо­дит из свой­ст­ва обыч­но­го рас­стоя­ния на плос­ко­сти: дли­на лю­бой из сто­рон тре­уголь­ни­ка не боль­ше сум­мы длин двух дру­гих его сто­рон.

Мно­же­ст­во $X$ с вве­дён­ной на нём М. $d(x,y)$ на­зы­ва­ет­ся мет­ри­че­ским про­стран­ст­вом. На од­ном и том же мно­же­ст­ве $X$ мо­гут рас­смат­ри­вать­ся раз­ные М., при этом по­лу­ча­ют­ся разл. мет­ри­че­ские про­стран­ст­ва. При­ме­ром М. яв­ля­ет­ся обыч­ное рас­стоя­ние на пря­мой ${\bf{R}}^1$, оп­ре­де­ляе­мое ра­вен­ст­вом $d(x,y)= ∣ x-y ∣$ для лю­бых дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $x,y$. Здесь $∣x-y∣$ оз­на­ча­ет аб­со­лют­ную ве­ли­чи­ну чис­ла $x-y$. В $n$-мер­ном про­стран­ст­ве рас­смат­ри­ва­ют М. $$d(x,y)=(\sum_{k=1}^n ∣x_k-y_k∣^p)^{1/p},$$

где $p$ – фик­си­ро­ван­ное чис­ло, $p⩾1$, а $x=\{x_1,...,x_n\}, y=\{y_1,...,y_n\}$ – эле­мен­ты про­стран­ст­ва, яв­ляю­щие­ся на­бо­ра­ми $n$ дей­ст­ви­тель­ных чи­сел (ко­ор­ди­нат). Вы­пол­не­ние ак­сио­мы тре­уголь­ни­ка га­ран­ти­ру­ет­ся в этом слу­чае Мин­ков­ско­го не­ра­вен­ст­вом. Слу­чай $p=2$ со­от­вет­ст­ву­ет обыч­но­му рас­стоя­нию в евк­ли­до­вом $n$-мер­ном про­стран­ст­ве ${\bf{R}}^n$; не­ра­вен­ст­во тре­уголь­ни­ка в этом слу­чае сле­ду­ет из Ко­ши не­ра­вен­ст­ва.

В про­стран­ст­вах функ­ций мо­гут быть вве­де­ны раз­лич­ные М., от ко­то­рых за­ви­сят свой­ст­ва по­лу­чаю­щих­ся мет­рич. про­странств. Вы­бор М. оп­ре­де­ля­ет­ся спе­ци­фи­кой ре­шае­мых за­дач. Напр., на мно­же­ст­ве не­пре­рыв­ных на от­рез­ке $[a,b]$ функ­ций мож­но вве­сти рав­но­мер­ную М., по­ла­гая для та­ких функ­ций $f,g$ $$d(f,g)=\max_{a⩽x⩽b}{∣}f(x)-g(x) {∣}$$