МЕ́ТРИКА

Рубрика: Математика
В книжной версии

Том 20. Москва, 2012, стр. 141
Скопировать библиографическую ссылку:

Книжная версия:

Электронная версия:

Авторы: А. А. Шкаликов

МЕ́ТРИКА в математике, расстояние, определённое для любых двух элементов (точек) некоторого множества $X$ . Точнее, М. – функция $d(x,y)$ , определённая для любых двух элементов $x,y$ из $X$ , удовлетворяющая условиям: $d(x,y)⩾0 \quad \text и \quad d(x,y)=0\quad \text {тогда и только тогда, когда} \quad x=y;$ $d(x,y)=d(y,x) \quad \text (симметрия);$ $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z) \quad \text {для любой тройки элементов} \quad x,y,z∈X \quad \text {(неравенство треугольника).}$ Название последнего свойства происходит из свойства обычного расстояния на плоскости: длина любой из сторон треугольника не больше суммы длин двух других его сторон.

Множество $X$ с введённой на нём М. $d(x,y)$ называется метрическим пространством

. На одном и том же множестве

$X$ могут рассматриваться разные М., при этом получаются разл. метрические пространства. Примером М. является обычное расстояние на прямой

${\bf{R}}^1$ , определяемое равенством

$d(x,y)= ∣ x-y ∣$ для любых действительных чисел

$x,y$ . Здесь

$∣x-y∣$ означает абсолютную величину числа

$x-y$ . В

$n$ -мерном пространстве рассматривают М.

$d(x,y)=(\sum_{k=1}^n ∣x_k-y_k∣^p)^{1/p},$

d (x, y) = (\sum k = 1 n ∣ x k - y k ∣ p) 1 / p,

где $p$ – фиксированное число, $p⩾1$ , а $x=\{x_1,...,x_n\}, y=\{y_1,...,y_n\}$ – элементы пространства, являющиеся наборами $n$ действительных чисел (координат). Выполнение аксиомы треугольника гарантируется в этом случае Минковского неравенством

. Случай

$p=2$ соответствует обычному расстоянию в евклидовом

$n$ -мерном пространстве

${\bf{R}}^n$ ; неравенство треугольника в этом случае следует из Коши неравенства

В пространствах функций могут быть введены различные М., от которых зависят свойства получающихся метрич. пространств. Выбор М. определяется спецификой решаемых задач. Напр., на множестве непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций можно ввести равномерную М., полагая для таких функций $f,g$ $d(f,g)=\max_{a⩽x⩽b}{∣}f(x)-g(x) {∣}$

d (f, g) = max a ⩽ x ⩽ b ∣ f (x) - g (x) ∣

(так получаемые пространства обозначают

$C[a,b]$ ) или интегральную М. (при фиксированном

$p⩾1$ )

$d(f,g)=(\int\limits_a^b |f(x)-g(x)|^pdx)^{1/p}.$ Если пространство

$X$ является линейным нормированным пространством

, то в качестве М. обычно выбирается норма, т. е.

$d(x,y)= ‖ x-y ‖$ . В гильбертовом пространстве

М. задаётся равенством

$d(x,y)=\sqrt{(x-y, x-y)}.$

Вернуться к началу

МЕ́ТРИКА

Ссылка на статью на E-mail

Спасибо!

Подписка на рассылку новостей