МЕ́ТРИКА
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МЕ́ТРИКА в математике, расстояние, определённое для любых двух элементов (точек) некоторого множества $X$. Точнее, М. – функция $d(x,y)$, определённая для любых двух элементов $x,y$ из $X$, удовлетворяющая условиям: $$d(x,y)⩾0 \quad \text и \quad d(x,y)=0\quad \text {тогда и только тогда, когда} \quad x=y; $$ $$d(x,y)=d(y,x) \quad \text (симметрия); $$ $$d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z) \quad \text {для любой тройки элементов} \quad x,y,z∈X \quad \text {(неравенство треугольника).}$$ Название последнего свойства происходит из свойства обычного расстояния на плоскости: длина любой из сторон треугольника не больше суммы длин двух других его сторон.
Множество $X$ с введённой на нём М. $d(x,y)$ называется метрическим пространством. На одном и том же множестве $X$ могут рассматриваться разные М., при этом получаются разл. метрические пространства. Примером М. является обычное расстояние на прямой ${\bf{R}}^1$, определяемое равенством $d(x,y)= ∣ x-y ∣$ для любых действительных чисел $x,y$. Здесь $∣x-y∣$ означает абсолютную величину числа $x-y$. В $n$-мерном пространстве рассматривают М. $$d(x,y)=(\sum_{k=1}^n ∣x_k-y_k∣^p)^{1/p},$$
где $p$ – фиксированное число, $p⩾1$, а $x=\{x_1,...,x_n\}, y=\{y_1,...,y_n\}$ – элементы пространства, являющиеся наборами $n$ действительных чисел (координат). Выполнение аксиомы треугольника гарантируется в этом случае Минковского неравенством. Случай $p=2$ соответствует обычному расстоянию в евклидовом $n$-мерном пространстве ${\bf{R}}^n$; неравенство треугольника в этом случае следует из Коши неравенства.
В пространствах функций могут быть введены различные М., от которых зависят свойства получающихся метрич. пространств. Выбор М. определяется спецификой решаемых задач. Напр., на множестве непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций можно ввести равномерную М., полагая для таких функций $f,g$ $$d(f,g)=\max_{a⩽x⩽b}{∣}f(x)-g(x) {∣}$$