МЕТРИ́ЧЕСКОЕ ПРОСТРА́НСТВО

МЕТРИ́ЧЕСКОЕ ПРОСТРА́НСТВО, мно­же­ст­во, на­де­лён­ное не­ко­то­рой мет­ри­кой, т. е. мно­же­ст­во $X$, для лю­бой па­ры эле­мен­тов $x,y$ ко­то­ро­го оп­ре­де­ле­но рас­стоя­ние $d(x,y)$. М. п. $X$ с мет­ри­кой $d$ обыч­но обо­зна­ча­ет­ся $(X,d)$. По­ня­тие М. п., на­ря­ду с по­ня­тия­ми то­по­ло­ги­че­ско­го про­стран­ст­ва, ба­на­хо­ва про­стран­ст­ва и гиль­бер­то­ва про­стран­ст­ва, яв­ля­ет­ся од­ним из важ­ней­ших по­ня­тий совр. функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. Пер­вые М. п. рас­смат­ри­ва­лись в ра­бо­те М. Фре­ше (1906), где бы­ло вве­де­но рас­стоя­ние ме­ж­ду функ­ция­ми.

При­ме­ром М. п. мо­жет слу­жить евк­ли­до­во $n$-мер­ное про­стран­ст­во ${\bf{R}}^n$ раз­мер­но­сти $ n⩾1$ с обыч­ной евк­ли­до­вой мет­ри­кой. Др. при­мер да­ёт про­стран­ст­во $B[a,b]$ ог­ра­ни­чен­ных на от­рез­ке $[a,b]$ функ­ций с мет­ри­кой $$d(f,g)=\sup_{a⩽x⩽b}|f(x)-g(x)|$$

(от­ре­зок $[a,b]$ мож­но за­ме­нить про­из­воль­ным мно­же­ст­вом $Ω$, ес­ли верх­нюю грань брать по всем $x∈Ω$). Ещё од­ним при­ме­ром яв­ля­ет­ся про­стран­ст­во $l_p, p⩾1$, ко­то­рое со­сто­ит из по­сле­до­ва­тель­но­стей $ξ= \{ξ1,ξ2...,\}$ ком­плекс­ных чи­сел, удов­ле­тво­ряю­щих ус­ло­вию $\sum_{k=1}^∞|{ξ_k}|^p<∞$ с мет­ри­кой $$d(ξ,ζ)=\left ( \sum_{k=1}^∞|ξ_k-ζ_k|^p\right ) ^{1/p}.$$

 

В М. п. ес­теств. об­ра­зом оп­ре­де­ля­ют­ся по­ня­тия схо­дя­щей­ся и фун­да­мен­таль­ной по­сле­до­ва­тель­но­стей. По­сле­до­ва­тель­ность $\{x_k\}_{k⩾1}$ эле­мен­тов из М. п. $(X,d)$ схо­дит­ся, ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кой эле­мент $x∈X$, что $d(x_k,x)→0$ при $k→∞$. По­сле­до­ва­тель­ность $\{x_k\}_{k⩾1}$ на­зы­ва­ет­ся фун­да­мен­таль­ной, ес­ли для лю­бо­го $ɛ>0$ най­дёт­ся та­кой но­мер $N=N(ε)$, что $d(x_k,x_m)<ε$ для всех $k,m>N$. Важ­ней­шим свой­ст­вом М. п. яв­ля­ет­ся пол­но­та. М. п. $(X,d)$ на­зы­ва­ет­ся пол­ным, ес­ли лю­бая фун­дам. по­сле­до­ва­тель­ность его эле­мен­тов схо­дит­ся. Ука­зан­ные вы­ше про­стран­ст­ва ${\bf{R}}^n$, $B[a,b]$ и $l_p$ пол­ны. При­ме­ром не­пол­но­го М. п. слу­жит мно­же­ст­во ра­цио­наль­ных чи­сел с мет­ри­кой $d(x,y) = ∣ x-y ∣$. Др. не­три­ви­аль­ным при­ме­ром не­пол­но­го М. п. слу­жит мно­же­ст­во не­пре­рыв­ных на от­рез­ке $[a,b]$ дей­ст­ви­тель­ных (или ком­плекс­но­знач­ных) функ­ций с ин­те­граль­ной мет­ри­кой $$d(f,g)=\left ( \int \limits_a^b |f(x)-g(x)|^p \right ) ^{1/p}$$ при не­ко­то­ром $p⩾1$. За­да­ча об опи­са­нии по­пол­не­ния та­ко­го М. п. при­во­дит к кон­ст­рук­ции ин­те­гра­ла Ле­бе­га.

В М. п. ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом мож­но вве­сти то­по­ло­гию, т. е. за­дать сис­те­му от­кры­тых мно­жеств. От­кры­тым ша­ром ра­диу­са $r$ с цен­тром в точ­ке $x_0$ М. п. $(X,d)$ на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во $B(x_0,r)=\{x∈X:d(x,x_0){<}{r}\}$. От­кры­ты­ми в $(X,d)$ объ­яв­ля­ют­ся мно­же­ст­ва, ко­то­рые мож­но пред­ста­вить в ви­де объ­е­ди­не­ния от­кры­тых ша­ров, а замк­ну­ты­ми мно­же­ст­ва­ми – до­пол­не­ния к от­кры­тым. Тем са­мым М. п. мож­но рас­смат­ри­вать как то­по­ло­гич. про­стран­ст­во с то­по­ло­ги­ей, по­ро­ж­дае­мой мет­ри­кой.

Важ­ной ха­рак­те­ри­сти­кой М. п. яв­ля­ет­ся се­па­ра­бель­ность. М. п. $(X,d)$ на­зы­ва­ет­ся се­па­ра­бель­ным, ес­ли в нём най­дёт­ся мно­же­ст­во $F$, со­стоя­щее из ко­неч­но­го или счёт­но­го мно­же­ст­ва эле­мен­тов та­кое, что за­мы­ка­ние $F$ сов­па­да­ет с $X$. За­мы­ка­ни­ем мно­же­ст­ва $F⊂X$ на­зы­ва­ет­ся наи­мень­шее (по вклю­че­нию) замк­ну­тое в $X$ мно­же­ст­во, со­дер­жа­щее $F$ (т. е. пе­ре­се­че­ние всех замк­ну­тых мно­жеств, со­дер­жа­щих $F$). В рас­смот­рен­ных вы­ше при­ме­рах про­стран­ст­ва ${\bf{R}}^n$ и $l_p$ се­па­ра­бель­ны, а про­стран­ст­во $B[a,b]$ не­се­па­ра­бель­но. Про­стран­ст­во $C[a,b]$, со­стоя­щее из всех не­пре­рыв­ных на $[a,b]$ функ­ций, с мет­ри­кой, оп­ре­де­лён­ной так же, как в $B[a,b]$, яв­ля­ет­ся пол­ным и се­па­ра­бель­ным. Со­глас­но тео­ре­ме Ба­на­ха – Ма­зу­ра про­стран­ст­во $C[a,b]$ яв­ля­ет­ся уни­вер­саль­ным, т. е. лю­бое се­па­ра­бель­ное М. п. изо­мет­рич­но не­ко­то­ро­му под­про­стран­ст­ву в $C[a,b]$.

Фун­да­мен­таль­ным яв­ля­ет­ся по­ня­тие ком­пакт­но­сти М. п. В ча­ст­но­сти, важ­ную роль иг­ра­ют тео­ре­мы о не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ни­ях ком­пакт­ных про­странств. Ком­пакт­ность М. п. $(X,d)$ рав­но­силь­на вы­пол­не­нию од­но­го из сле­дую­щих ус­ло­вий (это не так за пре­де­ла­ми клас­са М. п.): из лю­бо­го по­кры­тия $(X,d)$ от­кры­ты­ми мно­же­ст­ва­ми мож­но вы­де­лить ко­неч­ное под­по­кры­тие; из лю­бо­го счёт­но­го по­кры­тия $(X,d)$ от­кры­ты­ми мно­же­ст­ва­ми мож­но вы­де­лить ко­неч­ное под­по­кры­тие; лю­бая по­сле­до­ва­тель­ность эле­мен­тов в $(X,d)$ со­дер­жит под­пос­ле­до­ва­тель­ность, ко­то­рая схо­дит­ся. Вся­кое ком­пакт­ное М. п. пол­но. Ком­пакт­ное М. п. не­об­хо­ди­мо ог­ра­ни­че­но, т. е. со­дер­жит­ся в не­ко­то­ром ша­ре, од­на­ко пол­ное и ог­ра­ни­чен­ное М. п. мо­жет быть не­ком­пакт­ным (в ка­че­ст­ве при­ме­ров мож­но взять замк­ну­тые еди­нич­ные ша­ры в про­стран­ст­вах $C[a,b]$ или $l_p$).

Для по­лу­че­ния кри­те­рия ком­пакт­но­сти М. п. по­лез­ным ока­зы­ва­ет­ся свой­ст­во пол­ной ог­ра­ни­чен­но­сти. Мно­же­ст­во $F$ в М. п. $(X,d)$ на­зы­ва­ет­ся $ε$-се­тью, ес­ли для лю­бой точ­ки $x∈X$ най­дёт­ся та­кая точ­ка $f∈F$, что $d(x,f)⩽ε$. М. п. $(X,d)$ на­зы­ва­ет­ся впол­не ог­ра­ни­чен­ным, ес­ли для лю­бо­го $ε>0$ в нём су­ще­ст­ву­ет ко­неч­ная $ε$-сеть. Спра­вед­ли­ва сле­дую­щая тео­ре­ма: М. п. $(X,d)$ ком­пакт­но то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда оно пол­но и впол­не ог­ра­ни­че­но. Впол­не ог­ра­ни­чен­ные М. п. на­зы­ва­ют пред­ком­пакт­ны­ми. Од­ной из за­дач функ­цио­наль­но­го ана­ли­за яв­ля­ет­ся на­хо­ж­де­ние кри­те­ри­ев пред­ком­пакт­но­сти кон­крет­ных М. п. или их под­мно­жеств (ко­то­рые яв­ля­ют­ся М. п. с той же мет­ри­кой). Важ­ную роль в тео­рии М. п. иг­ра­ет тео­ре­ма Бэ­ра, ко­то­рую мож­но сфор­му­ли­ро­вать сле­дую­щим об­ра­зом: пусть $(X,d)$ – пол­ное мет­рич. про­стран­ст­во, при­чём $X=\cup_{n=1}^{\infty}X_n$, где мно­же­ст­ва $X_n$ замк­ну­ты. То­гда хо­тя бы од­но из мно­жеств $X_n$ со­дер­жит от­кры­тый шар по­ло­жи­тель­но­го ра­диу­са.