МИНКО́ВСКОГО НЕРА́ВЕНСТВО

МИНКО́ВСКОГО НЕРА́ВЕНСТВО, не­ра­вен­ст­во $$\left[ \sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^p \right] ^{1/p}⩽\left[ \sum_{k=1}^na_k^p \right]^{1/p}+\left[ \sum_{k=1}^nb_k^p \right]^{1/p},$$ где $a_k$ и $b_k, k=1,...,n,$ – не­от­ри­ца­тель­ные чис­ла, $n$ – на­ту­раль­ное чис­ло и $p>1$. Ус­та­нов­ле­но Г. Мин­ков­ским (1896). Из­вест­ны ана­ло­ги это­го не­ра­вен­ст­ва, их так­же на­зы­ва­ют М. н. Напр., спра­вед­ли­во М. н. для ин­те­гра­лов где $f(x)$ и $g(x)$ – не­от­ри­ца­тель­ные функ­ции, за­дан­ные на ин­тер­ва­ле $(a, b), - \infty < a < b < \infty, p>1$

Ес­ли $x,y$ – эле­мен­ты нор­ми­ро­ван­но­го про­стран­ст­ва (ко­то­рые обыч­но на­зы­ва­ют век­то­ра­ми) с нор­мой $||·||$, то М. н. име­ет вид $$||x+y||⩽||x||+||y||.$$ Т. к. нор­му век­то­ра час­то на­зы­ва­ют его дли­ной, то по­след­нее не­ра­вен­ст­во оз­на­ча­ет, что дли­на сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка не пре­вы­ша­ет сум­мы длин двух дру­гих его сто­рон. По­это­му М. н. на­зы­ва­ют так­же не­ра­вен­ст­вом тре­уголь­ни­ка.