НОРМИ́РОВАННОЕ ПРОСТРА́НСТВО

НОРМИ́РОВАННОЕ ПРОСТРА́НСТВО, век­тор­ное про­стран­ст­во $X$, на­де­лён­ное нор­мой $‖x‖ , x∈X$. Нор­ма ин­ду­ци­ру­ет на $X$ мет­ри­ку $ρ(x,y)= ‖x–y‖$ и, сле­до­ва­тель­но, то­по­ло­гию, со­вмес­ти­мую с этой мет­ри­кой. Пол­ные от­но­си­тель­но ука­зан­ной мет­ри­ки про­стран­ст­ва на­зы­ва­ют­ся ба­на­хо­вы­ми про­стран­ст­ва­ми. Н. п. яв­ля­ет­ся гиль­бер­то­вым про­стран­ст­вом то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда$‖x+y‖ ^2+ ‖x–y‖ ^ 2=2 ‖x‖ ^2+2 ‖y‖ ^ 2$для всех  $x, y∈X$.

Нор­ми­руе­мость то­по­ло­ги­че­ско­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва рав­но­силь­на су­ще­ст­во­ва­нию вы­пук­лой ог­ра­ни­чен­ной ок­ре­ст­но­сти ну­ля (тео­ре­ма Кол­мо­го­ро­ва).