Норми́рованное простра́нство, векторное пространство $X$, наделённое нормой $\|x\|$, $x∈X$. Норма индуцирует на $X$ метрику $ρ(x,y)= \|x–y\|$ и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство является гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда $\|x+y\| ^2+ \|x–y\|^2=2 \|x\| ^2+2 \|y\| ^ 2$ для всех $x, y∈X$.

Нормируемость топологического векторного пространства равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля (теорема Колмогорова).