АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ ТОПОЛО́ГИЯ

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ ТОПОЛО́ГИЯ, об­ласть ма­те­ма­ти­ки, изу­ча­ю­щая та­кие свой­ст­ва гео­мет­рич. фи­гур (в ши­ро­ком смыс­ле – лю­бых объ­ек­тов, где мож­но го­во­рить о не­пре­рыв­но­сти) и их ото­бра­же­ний друг в дру­га, ко­то­рые не ме­ня­ют­ся при не­пре­рыв­ных де­фор­ма­ци­ях (го­мо­то­пи­ях). В прин­ци­пе це­лью А. т. яв­ля­ет­ся пол­ное пе­ре­чис­ле­ние та­ких свойств. Са­мо назв. «А. т.» про­ис­хо­дит от оп­ре­де­ляю­щей ро­ли ал­геб­ра­ич. по­ня­тий и ме­то­дов при ре­ше­нии за­дач этой об­лас­ти. Наи­бо­лее фун­дам. клас­са­ми объ­ек­тов, свой­ст­ва ко­то­рых изу­ча­ют­ся в А. т., яв­ля­ют­ся: ком­плек­сы (мно­го­гран­ни­ки, по­ли­эд­ры) – сим­пли­ци­аль­ные, кле­точ­ные и др.; мно­го­об­ра­зия – замк­ну­тые, от­кры­тые, с кра­ем (гра­ни­цей), под­раз­де­ляю­щие­ся, в свою оче­редь, на глад­кие (диф­фе­рен­ци­руе­мые), ана­ли­тич., ком­плекс­но-ана­ли­тич., ку­соч­но-ли­ней­ные и, на­ко­нец, чис­то не­пре­рыв­ные (то­по­ло­гич.); ко­сые про­из­ве­де­ния (рас­слое­ния) и их се­че­ния. Осн. ти­пы ото­бра­же­ний, рас­смат­ри­вае­мые в А. т., – это про­из­воль­ные не­пре­рыв­ные, ку­соч­но-ли­ней­ные и глад­кие ото­бра­же­ния или их под­клас­сы: го­мео­мор­физ­мы, в ча­ст­но­сти не­пре­рыв­ные, ку­соч­но-ли­ней­ные или глад­кие (диф­фео­мор­физ­мы); вло­же­ния од­но­го объ­ек­та в дру­гой, а так­же по­гру­же­ния (ло­каль­ные вло­же­ния, им­мер­сии). Важ­ней­шим по­ня­ти­ем А. т. яв­ля­ет­ся по­ня­тие де­фор­ма­ции. Де­фор­ма­ции под­вер­га­ет­ся ото­бра­же­ние (ка­ко­го-то клас­са) од­но­го объ­ек­та в дру­гой. Осн. ти­па­ми де­фор­ма­ций яв­ля­ют­ся: го­мо­то­пия, или про­из­воль­ная не­пре­рыв­ная (глад­кая, ку­соч­но-ли­ней­ная) де­фор­ма­ция не­пре­рыв­но­го (глад­ко­го, ку­соч­но-ли­ней­но­го) ото­бра­же­ния; изо­то­пия (не­пре­рыв­ная, глад­кая, ку­соч­но-ли­ней­ная) – т. е. де­фор­ма­ция го­мео­мор­физ­ма, вло­же­ния или по­гру­же­ния, где в про­цес­се де­фор­ма­ции в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни ото­бра­же­ние ос­та­ёт­ся го­мео­мор­физ­мом, вло­же­ни­ем или по­гру­же­ни­ем. Гл. внутр. про­бле­мы А. т.– это про­бле­мы клас­си­фи­ка­ции мно­го­обра­зий от­но­си­тель­но го­мео­мор­физ­мов (не­пре­рыв­ных, глад­ких, ку­соч­но-ли­ней­ных), клас­си­фи­ка­ция вло­же­ний (по­гру­же­ний) от­но­си­тель­но изо­то­пий (ре­гу­ляр­ных го­мо­то­пий), клас­си­фи­ка­ция об­щих не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ний от­но­си­тель­но го­мо­то­пий. Важ­ную роль в ре­ше­нии этих за­дач иг­ра­ет клас­си­фи­ка­ция ком­плек­сов и мно­го­об­ра­зий от­но­си­тель­но т. н. го­мо­то­пич. ти­па или го­мо­то­пич. эк­ви­ва­лент­но­сти.

На­ив­ное по­ни­ма­ние гру­бых то­по­ло­гич. раз­ли­чий ме­ж­ду трёх­мер­ны­ми гео­мет­рич. фи­гу­ра­ми су­ще­ст­во­ва­ло уже в глу­бо­кой древ­но­сти. Оче­вид­но, что чис­ло дыр или ру­чек в трёх­мер­ной об­лас­ти (фи­гу­ре) не из­ме­нит­ся, ес­ли её гнуть без раз­ры­вов и са­мо­пе­ре­се­че­ний. Слож­ность уз­лов, сде­лан­ных из ко­ра­бель­ных ве­рё­вок, при­влек­ла вни­ма­ние ан­тич­ных гре­ков. Од­на­ко пер­вые то­по­ло­гич. на­блю­де­ния в фор­ме точ­ных ма­те­ма­тич. со­от­но­ше­ний и тео­рем воз­ник­ли лишь в 18 в. у Л. Эй­ле­ра: чис­ло вер­шин ми­нус чис­ло рё­бер плюс чис­ло гра­ней вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка рав­но 2; как от­крыл позд­нее А. Пу­ан­ка­ре, по­доб­ная аль­тер­ни­ро­ван­ная сум­ма яв­ля­ет­ся то­поло­гич. ин­ва­ри­ан­том лю­бо­го ком­плек­са. За­да­ча о трёх до­мах и трёх ко­лод­цах: до­ка­зать, что три до­ма нель­зя со­еди­нить с тре­мя ко­лод­ца­ми пу­тя­ми, не пе­ре­се­каю­щи­ми друг дру­га. На совр. язы­ке, со­от­вет­ст­вую­щий граф (од­но­мер­ный ком­плекс) нель­зя вло­жить в плос­кость без са­мо­пе­ре­се­че­ний.

До 19 в. та­кие на­блю­де­ния но­си­ли лишь ха­рак­тер иг­ру­шек вро­де ори­ги­наль­ных олим­пи­ад­ных за­дач, по­ро­ж­дён­ных иг­рой чис­то­го ума. Во 2-й четв. 19 в. си­туа­ция из­ме­ни­лась: К. Га­усс при­шёл к ря­ду не­три­ви­аль­ных то­по­ло­гич. на­блю­де­ний по­сле ана­ли­за опы­тов М. Фа­ра­дея, свя­зан­ных с элек­тро­маг­нит­ны­ми яв­ле­ния­ми. В ча­ст­но­сти, Га­усс от­крыл т. н. чис­ло за­це­п­ле­ния двух замк­ну­тых не­пе­ре­се­каю­щих­ся кри­вых в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве, не ме­няю­щее­ся при де­фор­ма­ци­ях без пе­ре­се­че­ний. Имен­но Га­усс и по­ста­вил за­да­чу о по­строе­нии точ­ной тео­рии по­доб­ных свойств. Тер­мин «то­по­ло­гия» воз­ник в ра­бо­те его уче­ни­ка И. Лис­тин­га. То­по­ло­гич. тео­рию дву­мер­ных мно­го­об­ра­зий силь­но про­дви­нул Б. Ри­ман (ри­ма­но­вы по­верх­но­сти). Во­об­ще, дву­мер­ная то­по­ло­гия, по су­ще­ст­ву, воз­ник­ла как важ­ней­шая сто­ро­на но­во­го то­гда ком­плекс­но­го ана­ли­за на плос­ко­сти в тру­дах О. Ко­ши и на дву­мер­ных мно­го­об­ра­зи­ях с не­три­ви­аль­ной то­по­ло­ги­ей в тру­дах Н. Абе­ля, К. Яко­би и Ри­ма­на. Ряд то­по­ло­гич. на­блю­де­ний был сде­лан фи­зи­ка­ми: У. Том­сон ин­те­ре­со­вал­ся уз­ла­ми. Он ис­хо­дил из лю­бо­пыт­ных свойств замк­ну­тых вих­ре­вых ли­ний, от­кры­тых им в гид­ро­ди­на­ми­ке, и хо­тел при­ме­нить уз­лы для клас­си­фика­ции ато­мов (это ока­за­лось лож­ной иде­ей). Его уче­ник П. Тэйт пер­вым на­чал сис­те­ма­ти­че­ски раз­ви­вать тео­рию узлов, в кон. 19 в. вы­ска­зал ин­те­рес­ные ги­по­те­зы, до­ка­зан­ные лишь не­дав­но. Дж. Мак­свелл об­ра­тил вни­ма­ние на со­от­но­ше­ние ме­ж­ду чис­ла­ми кри­тич. то­чек функ­ций раз­ных ин­дек­сов: для изо­ли­ро­ван­но­го ост­ро­ва чис­ло ям ми­нус чис­ло пе­ре­ва­лов плюс чис­ло вер­шин рав­но 1. Это от­да­лён­ный про­об­раз идей «тео­рии Мор­са». А. Пу­ан­ка­ре на­чал по­сле­до­ва­тель­но при­ме­нять то­по­ло­гич. идеи для ана­ли­за ка­че­ст­вен­но­го по­ве­де­ния тра­екто­рий ди­на­мич. сис­тем, осо­бен­но для соз­дан­ной им тео­рии сис­тем на плос­кости. Им же то­по­ло­гия бы­ла вы­де­ле­на в отд. об­ласть ма­те­ма­ти­ки, ко­то­рую он на­звал «Ана­лиз Си­тус». В чис­ле наи­более про­стых и фун­да­мен­таль­ных то­по­ло­гич. ха­рак­те­ри­стик ока­за­лись обоб­ще­ния чис­ла дыр и ру­чек: это чис­ла Бет­ти с но­ме­ром k (чис­ла в оп­ре­де­лённом смыс­ле не­за­ви­си­мых k-мер­ных цик­лов в ис­сле­дуе­мом про­стран­ст­ве, об­лас­ти или мно­го­об­ра­зии). Эти ха­рак­те­ри­сти­ки и их даль­ней­шие обоб­ще­ния по­лу­чи­ли назв. го­мо­ло­гий. Пу­ан­ка­ре дал то­по­ло­гич. клас­си­фи­ка­цию дву­мер­ных мно­го­об­ра­зий. Он ввёл важ­ней­ший то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ант – фун­дам. груп­пу про­странств, со­стоя­щую из го­мо­то­пич. клас­сов замк­ну­тых пу­тей с на­ча­лом и кон­цом в од­ной об­щей точ­ке – и по­стро­ил то­по­ло­гич. тео­рию на­кры­тий. Им от­крыт т. н. за­кон двой­ст­вен­но­сти Пу­анка­ре, ут­вер­ждаю­щий, что для замк­ну­тых n-мер­ных мно­го­об­ра­зий чис­ла Бет­ти оп­ре­де­лён­ных ти­пов с но­ме­ра­ми k и n – k сов­па­да­ют. Про­бле­ма клас­сифи­ка­ции трёх­мер­ных мно­го­об­ра­зий встре­ти­ла боль­шие труд­но­сти: до са­мо­го по­след­не­го вре­ме­ни не уда­ва­лось до­ка­зать, что вся­кое од­но­связ­ное трёх­мер­ное мно­го­об­ра­зие (где фун­дам. груп­па еди­нич­на) го­мео­морф­но сфе­ре. Это – ги­по­те­за Пу­ан­ка­ре.

В нач. 20 в. за этой об­ла­стью ма­те­мати­ки за­кре­пи­лось назв. то­по­ло­гии. В 1930-х гг., ко­гда ал­геб­ра­ич. ме­то­ды при­об­ре­ли ре­шаю­щее зна­че­ние, эта об­ласть бла­го­да­ря С. Леф­ше­цу ста­ла на­зы­вать­ся А. т.

Бо­гат­ст­во идей, вне­сён­ных то­по­ло­ги­ей, по­ста­ви­ло эту об­ласть в центр ми­ровой ма­те­ма­ти­ки на­чи­ная с сер. 20 в. Напр., с 1950 до 2002 ак­тивным ­ма­те­мати­кам, при­знан­ным луч­ши­ми, воз­раст ко­то­рых не пре­вы­шал 40 лет, бы­ло при­су­ж­де­но в об­щей слож­но­сти 44 ме­да­ли Фил­дса на Все­мир­ных ма­те­ма­тич. кон­грес­сах. Сре­ди них – Ж. П. Серр (1954), Р. Том (1958), Дж. Мил­нор (1962), М. Атья (1966), С. Смейл (1966), С. П. Но­ви­ков (1970), Д. Ку­ил­лен (1978), У. Тёр­стон (1982), С. До­налд­сон (1986), М. Фрид­ман (1986), Э. Вит­тен (1990), У. Джонс (1990), М. Кон­це­вич (1998), центр. часть ма­те­ма­тич. вкла­да ко­то­рых в те го­ды от­но­си­лась к то­по­ло­гии, а так­же К. Ко­дай­ра (1950), А. Гро­тен­дик (1966), Д. Мам­форд (1974), П. Де­линь (1978), Яу Шин­тан (1982), В. Вое­вод­ский (2002), ра­бо­тав­шие на сты­ке идей то­по­ло­гии, ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии и го­мо­ло­гич. ал­геб­ры. С 1954 по 1970-е гг. ок. по­ло­ви­ны ме­да­лей Фил­дса бы­ло при­су­ж­де­но то­по­ло­гам, ока­зав­шим влия­ние на мно­гие др. об­лас­ти ма­те­ма­ти­ки.

Лит.: Мил­нор Дж. Тео­рия Мор­са. М., 1965; он же. Тео­ре­ма об h-ко­бор­диз­ме. М., 1969; To­pol­ogy-I / Ed. by S. Novikov. B. e. a., 1995; Дуб­ро­вин Б. А., Но­ви­ков С. П., Фо­мен­ко А. Т. Со­вре­мен­ная гео­мет­рия: В 3 т. М., 2001; Fuks D., Viro O. Ho­mol­ogy and co­ho­mol­o­gy // To­pol­ogy-II. B. e. a., 2003.

С. П. Но­ви­ков.