Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КАРТОГРАФИ́ЧЕСКИЕ ПРОЕ́КЦИИ

  • рубрика

    Рубрика: География

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 13. Москва, 2009, стр. 238

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. М. Берлянт

КАРТОГРАФИ́ЧЕСКИЕ ПРОЕ́КЦИИ, ма­те­ма­тич. спо­со­бы ото­бра­же­ния всей по­верх­но­сти зем­но­го эл­лип­сои­да или его час­ти на плос­ко­сти кар­ты. К. п. ус­та­нав­ли­ва­ют со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду гео­де­зич. ко­ор­ди­на­та­ми то­чек (ши­ро­той $B$ и дол­го­той $L$) и их пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми ($X$ и $Y$) на кар­те: $$X=f_1(B,L); Y=f_2(B,L).$$Кон­крет­ные реа­ли­за­ции функ­ций $f_1$ и $f_2$ час­то слож­ны, их чис­ло бес­ко­неч­но, и, сле­до­ва­тель­но, раз­но­об­ра­зие К. п. не­ог­ра­ни­чен­но. Ис­ход­ная ак­сио­ма К. п. со­сто­ит в том, что сфе­рич. по­верх­ность нель­зя раз­вер­нуть на плос­кость без де­фор­ма­ций – сжа­тий и рас­тя­же­ний, раз­лич­ных по ве­ли­чи­не и на­прав­ле­нию. Ма­те­ма­тич. кар­то­гра­фия изу­ча­ет все ви­ды ис­ка­же­ний и раз­ра­ба­ты­ва­ет ме­то­ды по­строе­ния про­ек­ций, в ко­то­рых ис­ка­же­ния име­ли бы или наи­мень­шие (в к.-л. смыс­ле) зна­че­ния, или за­ра­нее за­дан­ное рас­пре­де­ле­ние. Раз­ные К. п. мо­гут иметь сле­дую­щие ви­ды ис­ка­же­ний: ис­ка­же­ния длин – мас­штаб длин и рас­стоя­ний не­по­стоя­нен в раз­ных точ­ках кар­ты и по раз­ным направ­ле­ни­ям; ис­ка­же­ния пло­ща­дей – мас­штаб пло­ща­дей в раз­ных точ­ках кар­ты раз­ли­чен, что на­ру­ша­ет раз­ме­ры объ­ек­тов; ис­ка­же­ния уг­лов – уг­лы ме­ж­ду на­прав­ле­ния­ми на кар­те иска­же­ны от­но­си­тель­но уг­лов на ме­ст­но­сти; ис­ка­же­ния форм – фи­гу­ры на кар­те де­фор­ми­ро­ва­ны и не по­доб­ны фи­гу­рам на ме­ст­но­сти, что яв­ля­ет­ся след­ст­ви­ем ис­ка­же­ния уг­лов.

В лю­бой К. п. раз­ли­ча­ют глав­ный мас­штаб длин и пло­ща­дей – от­но­ше­ние, по­ка­зы­ваю­щее сте­пень умень­ше­ния раз­ме­ров эл­лип­сои­да (ша­ра) от­но­си­тель­но его изо­бра­же­ния на кар­те, и ча­ст­ные мас­шта­бы – от­но­ше­ние бес­ко­неч­но ма­ло­го от­рез­ка (или пло­ща­ди), изо­бра­жён­но­го на кар­те, к со­от­вет­ст­вую­щей бес­ко­неч­но ма­лой ве­ли­чи­не на эл­лип­сои­де (ша­ре). Кар­то­гра­фи­че­ские ани­ма­ции име­ют ещё и вре­мен­ной мас­штаб, т. е. от­но­ше­ние вре­ме­ни де­мон­ст­ра­ции кар­ты к ре­аль­но­му вре­ме­ни изо­бра­жае­мо­го про­цес­са.

По ха­рак­те­ру ис­ка­же­ний, воз­ни­каю­щих при пе­ре­хо­де от сфе­рич. по­верх­но­сти к плос­ко­сти, К. п. под­раз­де­ля­ют на рав­но­ве­ли­кие, ко­то­рые со­хра­ня­ют раз­ме­ры пло­ща­дей, рав­но­уголь­ные, ос­тав­ляю­щие без ис­ка­же­ний уг­лы и фор­мы кон­ту­ров (ра­нее их на­зы­ва­ли кон­форм­ны­ми), и про­из­воль­ные, где пло­ща­ди и уг­лы ис­ка­же­ны в раз­ных со­от­но­ше­ни­ях. Ча­ст­ный слу­чай про­из­воль­ных К. п. – рав­но­про­ме­жу­точ­ные про­ек­ции, в ко­то­рых мас­штаб по­стоя­нен по од­но­му из гл. на­прав­ле­ний (по ме­ри­диа­ну или па­рал­ле­ли). См. кар­ты Кар­то­гра­фи­че­ские про­ек­ции.

Ме­рой де­фор­ма­ций в К. п. слу­жит эл­липс ис­ка­же­ний (или ин­ди­кат­ри­са Тис­со). Лю­бая бес­ко­неч­но ма­лая ок­руж­ность на зем­ном ша­ре (эл­лип­сои­де) пред­ста­ёт на кар­те бес­ко­неч­но ма­лым эл­лип­сом, раз­ме­ры и фор­ма ко­то­ро­го от­ра­жа­ют ис­ка­же­ния длин, пло­ща­дей и уг­лов. Дли­на и ори­ен­ти­ров­ка боль­шой оси эл­лип­са ис­ка­же­ний со­от­вет­ст­ву­ют на­прав­ле­нию наи­боль­ше­го рас­тя­же­ния (a) в дан­ной точ­ке, а ма­лая ось – наи­боль­ше­го сжа­тия (b), от­рез­ки вдоль ме­ри­диа­на и па­рал­ле­ли ха­рак­те­ри­зу­ют ча­ст­ные мас­шта­бы вдоль них (m и n).

Ис­ка­же­ния на кар­тах мож­но так­же по­ка­зы­вать с по­мо­щью осо­бых изо­ли­ний – изо­кол, т. е. ли­ний рав­ных ис­ка­же­ний длин, пло­ща­дей, уг­лов или форм.

В за­ви­си­мо­сти от по­ло­же­ния оси, ис­поль­зуе­мой при про­ек­ти­ро­ва­нии сис­те­мы сфе­рич. ко­ор­ди­нат, раз­ли­ча­ют К. п. нор­маль­ные (ось сфе­рич. ко­ор­ди­нат сов­па­да­ет с осью вра­ще­ния Зем­ли), по­пе­реч­ные (ось сфе­рич. ко­ор­ди­нат ле­жит в плос­ко­сти эк­ва­то­ра) и ко­сые (ось сфе­рич. ко­ор­ди­нат рас­по­ло­же­на под уг­лом к плос­ко­сти эк­ва­то­ра).

По ви­ду нор­маль­ной сет­ки ме­ри­диа­нов и па­рал­ле­лей вы­де­ля­ют ци­лин­д­ри­че­ские К. п., в ко­то­рых ме­ри­диа­ны и па­рал­ле­ли нор­маль­ной сет­ки яв­ля­ют­ся пря­мы­ми, вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми ли­ния­ми; ина­че го­во­ря, зем­ной шар (эл­лип­со­ид) как бы про­ек­ти­ру­ют на вспо­мо­гат. по­верх­ность ка­са­тель­но­го или се­ку­ще­го ци­лин­д­ра, ко­то­рый по­том раз­во­ра­чи­ва­ют в плос­кость. В ко­ни­че­ских К. п. по­верх­ность зем­но­го ша­ра так­же про­ек­ти­ру­ют на вспо­мо­гат. по­верх­ность ка­са­тель­но­го или се­ку­ще­го ко­ну­са, по­это­му в нор­маль­ной ко­нич. про­ек­ции ме­ри­диа­ны – это пря­мые, ис­хо­дя­щие из точ­ки по­лю­са, а па­рал­ле­ли – ду­ги кон­цен­трич. ок­руж­но­стей. В нор­маль­ных (по­ляр­ных) ази­му­таль­ных К. п. по­верх­ность зем­но­го ша­ра пе­ре­но­сят на вспо­мо­гат. плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси вра­ще­ния Зем­ли, па­рал­ле­ли в ней – кон­цен­трич. ок­руж­но­сти, а ме­ри­диа­ны – диа­мет­ры этих ок­руж­но­стей. В этой про­ек­ции все­гда кар­то­гра­фи­ру­ют по­ляр­ные об­лас­ти. Ес­ли плос­кость про­ек­ции пер­пен­ди­ку­ляр­на к плос­ко­сти эк­ва­то­ра, то по­лу­ча­ет­ся по­пе­реч­ная (эк­ва­то­ри­аль­ная) ази­му­таль­ная про­ек­ция, ко­то­рую все­гда ис­поль­зу­ют для карт по­лу­ша­рий. Вспо­мо­гат. ка­са­тель­ные по­верх­но­сти да­ют од­ну об­щую ли­нию или точ­ку для эл­лип­сои­да (ша­ра) и плос­ко­сти кар­ты, где ис­ка­же­ния от­сут­ст­ву­ют. В слу­чае се­ку­щей по­верх­но­сти по­яв­ля­ют­ся две об­щие ли­нии. В псев­до­ци­лин­д­ри­че­ских К. п. па­рал­ле­ли – пря­мые (как и в ци­лин­д­рич. про­ек­циях), сред­ний ме­ри­ди­ан – пер­пен­ди­ку­ляр­ная им пря­мая, а ос­таль­ные ме­ри­диа­ны – кри­вые, уве­ли­чи­ваю­щие кри­виз­ну по ме­ре уда­ле­ния от сред­не­го ме­ри­диа­на. В псев­до­ко­ни­че­ских К. п. все па­рал­ле­ли пред­ста­ют ду­га­ми кон­цен­трич. ок­руж­но­стей (как в нор­маль­ных ко­ни­че­ских), сред­ний ме­ри­ди­ан – пря­мая ли­ния, а ос­таль­ные ме­ри­диа­ны – кри­вые, при­чём кри­виз­на их воз­рас­та­ет с уда­ле­ни­ем от сред­не­го ме­ри­диа­на. В нор­маль­ных по­ли­ко­ни­че­ских К. п. па­рал­ле­ли пред­став­ле­ны ду­га­ми экс­цен­трич. ок­руж­но­стей, а ме­ри­диа­ны – кри­вы­ми, сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мо­го сред­не­го ме­ри­диа­на. По­ляр­ные псев­до­ази­му­таль­ные К. п. – это ви­до­из­ме­нён­ные ази­му­таль­ные про­ек­ции, в ко­то­рых па­рал­ле­ли изо­бра­же­ны в ви­де кон­цен­трич. ок­ру­ж­но­стей, а ме­ри­диа­ны – в ви­де кри­вых ли­ний, сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но од­но­го или двух пря­мых ме­ри­диа­нов.

Ком­пь­ю­тер­ные тех­но­ло­гии по­зво­ля­ют по­лу­чать эти и мно­же­ст­во про­из­воль­ных К. п. лю­бо­го ви­да. Их свой­ст­ва за­да­ют в со­от­вет­ст­вии с осо­бен­но­стя­ми кар­то­гра­фи­руе­мой тер­ри­то­рии и её по­ло­же­ни­ем на зем­ном ша­ре, на­зна­че­ни­ем и спо­со­бом ис­поль­зо­ва­ния кар­ты, пред­поч­ти­тель­ным рас­пре­де­ле­ни­ем ис­ка­же­ний и т. п. Мно­го­гран­ные К. п. по­лу­ча­ют, про­ек­ти­руя зем­ной шар на по­верх­ность мно­го­гран­ни­ка. Ча­ще все­го ка­ж­дая грань пред­став­ля­ет со­бой рав­но­боч­ную тра­пе­цию, хо­тя воз­мож­ны и иные ва­ри­ан­ты (напр., шес­ти­уголь­ни­ки, квад­ра­ты, ром­бы). Раз­но­вид­но­стью мно­го­гран­ных яв­ля­ют­ся мно­го­по­лос­ные К. п., при­чём по­ло­сы мо­гут «на­ре­зать­ся» по ме­ри­диа­нам и по па­рал­ле­лям. Та­кие про­ек­ции удоб­ны тем, что ис­ка­же­ния в пре­де­лах ка­ж­дой гра­ни или по­ло­сы не­ве­ли­ки, по­это­му их все­гда ис­поль­зу­ют для мно­го­лист­ных карт. То­по­гра­фич. и об­зор­но-то­по­гра­фич. кар­ты соз­да­ют ис­клю­чи­тель­но в мно­го­гран­ной про­ек­ции, и рам­ка ка­ж­до­го лис­та пред­став­ля­ет со­бой сфе­рич. тра­пе­цию, об­ра­зо­ван­ную ли­ния­ми ме­ри­диа­нов и па­рал­ле­лей. Од­на­ко блок лис­тов карт нель­зя со­вмес­тить по об­щим рам­кам без раз­ры­вов.

В не­ко­то­рых слу­ча­ях для умень­ше­ния ис­ка­же­ний ис­поль­зу­ют ра­зо­рван­ные К. п., где не­пре­рыв­ность изо­бра­же­ния на­ру­ша­ет­ся на океа­нах, ес­ли со­дер­жа­ние кар­ты при­уро­че­но к ма­те­ри­кам (напр., кар­та на­се­ле­ния, с.-х. кар­та), или на ма­те­ри­ках, ес­ли кар­та ха­рак­те­ри­зу­ет толь­ко океа­ны (напр., гео­ло­гич. строе­ние дна Ми­ро­во­го океа­на).

Мно­го­чис­лен­ность К. п. объ­яс­ня­ет­ся раз­но­об­ра­зи­ем за­дач, для ко­то­рых слу­жат кар­ты (напр., для мор­ских и аэ­ро­на­ви­гац. карт нуж­ны рав­но­уголь­ные, а для ка­да­ст­ро­вых из­ме­ре­ний – рав­но­ве­ли­кие К. п.), гео­гра­фич. по­ло­же­ни­ем тер­ри­то­рии (по­ляр­ные об­лас­ти изо­бра­жа­ют в нор­маль­ных К. п., а по­лу­ша­рия – в по­пе­реч­ных ази­му­таль­ных К. п.), на­зна­че­ни­ем карт (раз­ные про­ек­ции нуж­ны для школь­ных и на­уч­но-спра­воч­ных карт). Соз­да­ны спе­ци­аль­ные элек­трон­ные ат­ла­сы К. п., с по­мо­щью ко­то­рых мож­но оты­скать под­хо­дя­щую К. п., оце­нить её свой­ст­ва, а при не­об­хо­ди­мо­сти про­вес­ти те или иные мо­ди­фи­ка­ции или пре­об­ра­зо­ва­ния. Вы­бор ва­ри­ан­тов очень ве­лик, но всё же су­ще­ст­ву­ют не­ко­то­рые пред­поч­ти­тель­ные и наи­бо­лее тра­ди­ци­он­ные кар­то­гра­фич. про­ек­ции.

Кар­ты ми­ра обыч­но со­став­ля­ют в ци­лин­д­рич., псев­до­ци­лин­дрич. и по­ли­ко­ни­че­ских К. п. Для умень­ше­ния ис­ка­же­ний час­то ис­поль­зу­ют се­ку­щие ци­лин­д­ры, а псев­до­ци­лин­д­рич. К. п. да­ют с раз­ры­ва­ми на океа­нах. Кар­ты по­лу­ша­рий все­гда стро­ят в ази­му­таль­ных К. п. Для Зап. и Вост. по­лу­ша­рий ис­поль­зу­ют по­пе­реч­ные (эк­ва­то­ри­аль­ные), для Сев. и Юж. по­лу­ша­рий – нор­маль­ные (по­ляр­ные), а в др. слу­ча­ях (напр., для ма­те­ри­ко­во­го и океа­нич. по­лу­ша­рий) – ко­сые ази­му­таль­ные К. п. Для карт ма­те­ри­ков Ев­ро­пы, Азии, Сев. Аме­ри­ки, Юж. Аме­ри­ки, Ав­ст­ра­лии с Океа­ни­ей ча­ще все­го при­ме­ня­ют рав­но­ве­ли­кие ко­сые ази­му­таль­ные К. п., для Аф­ри­ки – по­пе­реч­ные, а для Ан­тарк­ти­ды – нор­маль­ные ази­му­таль­ные К. п. Кар­ты Рос­сии в це­лом со­став­ля­ют ча­ще все­го в нор­маль­ных ко­нич. рав­но­про­ме­жу­точ­ных К. п. с се­ку­щим ко­ну­сом, но в не­ко­то­рых слу­ча­ях – в по­ли­ко­нич., про­из­воль­ных и в дру­гих К. п. Од­на­ко сет­ка ко­нич. К. п. не все­гда удоб­на. Напр., на кар­тах Рос­сии для на­чаль­ной шко­лы тре­бу­ет­ся К. п., в ко­то­рой ме­ри­диа­ны схо­дят­ся в точ­ке по­лю­са, а са­мая сев. точ­ка су­ши (мыс Че­лю­скин) рас­по­ла­га­ет­ся бли­же все­го к сев. рам­ке. Кар­ты от­дель­ных стран, адм. об­лас­тей, про­вин­ций, шта­тов вы­пол­ня­ют в ко­сых рав­но­уголь­ных и рав­но­ве­ли­ких ко­нич. или ази­му­таль­ных К. п., но мно­гое за­ви­сит от кон­фи­гу­ра­ции са­мой тер­ри­то­рии и её по­ло­же­ния на зем­ном ша­ре. Для не­боль­ших по пло­ща­ди рай­онов за­да­ча вы­бо­ра К. п. те­ря­ет ак­ту­аль­ность, мож­но ис­поль­зо­вать раз­ные рав­но­уголь­ные про­ек­ции, по­сколь­ку ис­ка­же­ния пло­ща­дей на ма­лых тер­ри­то­ри­ях ма­ло­ощу­ти­мы. То­по­гра­фи­че­ские кар­ты Рос­сии соз­да­ют в по­переч­но-ци­лин­д­рич. про­ек­ции Га­ус­са – Крю­ге­ра, а кар­ты США и мн. дру­гих зап. стран – в уни­вер­саль­ной по­пе­реч­но-ци­лин­д­рич. про­ек­ции Мер­ка­то­ра (сокр. UTM). Обе про­ек­ции близ­ки по сво­им свой­ст­вам, и та и дру­гая по су­ще­ст­ву яв­ля­ют­ся мно­го­по­лос­ны­ми. Мор­ские и аэ­ро­на­ви­га­ци­он­ные кар­ты вы­пол­ня­ют ис­клю­чи­тель­но в ци­лин­д­рич. про­ек­ции Мер­ка­то­ра, а те­ма­тич. кар­ты мо­рей и океа­нов соз­да­ют в са­мых раз­но­об­раз­ных, ино­гда до­воль­но слож­ных про­ек­ци­ях. Напр., для со­вме­ст­но­го по­ка­за Ат­лан­ти­че­ско­го и Сев. Ле­до­ви­то­го океа­нов при­ме­ня­ют осо­бые про­ек­ции с оваль­ны­ми изо­ко­ла­ми, а для изо­бра­же­ния Ми­ро­во­го ок. – рав­но­ве­ли­кие про­ек­ции с раз­ры­ва­ми на ма­те­ри­ках.

В лю­бом слу­чае при вы­бо­ре про­ек­ции, в осо­бен­но­сти для те­ма­тич. карт, сле­ду­ет иметь в ви­ду, что обыч­но ис­ка­же­ния на кар­те ми­ни­маль­ны в цен­тре и бы­ст­ро воз­рас­та­ют к кра­ям. Кро­ме то­го, чем мель­че мас­штаб кар­ты и об­шир­нее про­стран­ст­вен­ный ох­ват, тем боль­шее вни­ма­ние при­хо­дит­ся уде­лять ма­те­ма­тич. фак­то­рам вы­бо­ра К. п., и, на­обо­рот, для ма­лых тер­ри­то­рий и круп­ных мас­шта­бов бо­лее су­ще­ст­вен­ны­ми ста­но­вят­ся гео­гра­фич. фак­то­ры.

Краткие исторические сведения

Пер­вые кар­ты с ис­поль­зо­ва­ни­ем сет­ки ме­ри­диа­нов и па­рал­ле­лей соз­да­ли греч. учё­ные Эра­тос­фен, Гип­парх. Клав­дий Пто­ле­мей в «Ру­ко­во­дстве по гео­гра­фии» опи­сал прин­ци­пы соз­да­ния не­ко­то­рых ко­нич. про­ек­ций. Ве­ли­кие гео­гра­фи­че­ские от­кры­тия по­слу­жи­ли зна­чит. раз­ви­тию кар­то­гра­фии и спо­соб­ст­во­ва­ли соз­да­нию но­вых К. п. Боль­шой вклад в тео­рию про­ек­ций вне­сли флам. кар­то­гра­фы: Г. Мер­ка­тор, пред­ло­жив­ший ци­лин­д­ри­че­скую (Мер­ка­то­ра) про­ек­цию для на­ви­гац. карт, А. Ор­те­лий, Я. Ян­сон (1588–1664) и др. Тео­рия про­ек­ций все­гда рас­смат­ри­ва­лась как важ­ней­шая на­уч. про­бле­ма кар­то­гра­фии. Свой вклад в раз­ра­бот­ку К. п. вне­сли из­вест­ные ма­те­ма­ти­ки И. Лам­берт, Л. Эй­лер, Ж. Ла­гранж, К. Га­усс. В сер. 19 в. франц. ис­сле­до­ва­тель А. Тис­со соз­дал об­щую тео­рию ис­ка­же­ний К. п. В Рос­сии тео­ри­ей К. п. за­ни­ма­лись А. П. Бо­ло­тов (1803–1853), Ф. И. Шу­берт, П. Л. Че­бы­шев, Д. А. Гра­ве, Д. И. Мен­де­ле­ев, В. В. Вит­ков­ский (1856–1924), Ф. Н. Кра­сов­ский, В. В. Кав­рай­ский, Г. А. Гинз­бург (1905–1975), Н. А. Ур­ма­ев и др.

Лит.: Вит­ков­ский В. В. Кар­то­гра­фия. Тео­рия кар­то­гра­фи­че­ских про­ек­ций. СПб., 1907; Кав­рай­ский В. В. Ма­те­ма­ти­че­ская кар­то­гра­фия. М.; Л., 1934; Ур­ма­ев Н. А. Ме­то­ды изы­ска­ния но­вых кар­то­гра­фи­че­ских про­ек­ций. М., 1947; Гинз­бург Г. А. Кар­то­гра­фи­че­ские про­ек­ции. М., 1951; Со­ловь­ев М. Д. Ма­те­ма­ти­че­ская кар­то­гра­фия. М., 1969; Со­ро­кин А. И. Мор­ская кар­то­гра­фия. М., 1985; Вах­ра­мее­ва Л. А., Бу­га­ев­ский Л. М., Ка­за­ко­ва З. Л. Ма­те­ма­тиче­ская кар­то­гра­фия. М., 1986; Се­ра­пи­нас Б. Б. Ма­те­ма­ти­че­ская кар­то­гра­фия. М., 2005.

Вернуться к началу