МА́ТРИЦА

МА́ТРИЦА, таб­ли­ца ви­да $$\begin{Vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...&... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2} &... & a_{mn} \end{Vmatrix}$$

или $$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...&... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2} &... & a_{mn} \end{pmatrix}$$

об­ра­зо­ван­ная из эле­мен­тов не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва и со­стоя­щая из $m$ строк и $n$ столб­цов. Эта таб­ли­ца на­зы­ва­ет­ся пря­мо­уголь­ной М. раз­ме­ра $m×n$ (чи­та­ет­ся «$m$ на $n$», знак $×$ не оз­на­ча­ет ум­но­же­ние) или ($m×n$)-мат­ри­цей с эле­мен­та­ми $a_{ij}$, эле­мент $a_{ij}$ рас­по­ло­жен в $i$-й стро­ке и $j$-м столб­це, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. При $m=n$ М. на­зы­ва­ет­ся квад­рат­ной, а чис­ло $n$ – её по­ряд­ком. М. $A$ и $B$ счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они име­ют один и тот же раз­мер и эле­мен­ты, стоя­щие в $A$ и $B$ на оди­на­ко­вых мес­тах, рав­ны ме­ж­ду со­бой, т. е. $a_{ij}=b_{ij}$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. Со­кра­щён­но М. обо­зна­ча­ет­ся $A=||a_{ij}||$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. Квад­рат­ная М. в со­кра­щён­ной за­пи­си ино­гда обо­зна­чает­ся $||a_{ij}||_1^n$. М., со­стоя­щая из од­ной стро­ки, на­зы­ва­ет­ся стро­кой (век­тор-стро­кой), а со­стоя­щая из од­но­го столб­ца – столб­цом (век­тор-столб­цом). М., по­лу­чаю­щая­ся из М. $A$ за­ме­ной строк столб­ца­ми, на­зы­ва­ет­ся транс­по­ни­ро­ван­ной мат­ри­цей по от­но­ше­нию к $A$ и обо­зна­ча­ет­ся $A^T$ (ино­гда $A′$).

Ча­ще все­го рас­смат­ри­ва­ют­ся М., эле­мен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся дей­ст­ви­тель­ные или ком­плекс­ные чис­ла или эле­мен­ты не­ко­то­ро­го по­ля $K$; со­от­вет­ст­вен­но М. на­зы­ва­ют­ся дей­ст­ви­тель­ны­ми, ком­плекс­ны­ми или М. над по­лем $K$. Ес­ли $A$ – ком­плекс­ная М., то М., по­лу­чаю­щая­ся из $A$ за­ме­ной её эле­мен­тов ком­плекс­но со­пря­жён­ны­ми, на­зы­ва­ет­ся М., ком­плекс­но со­пря­жён­ной с $A$, и обо­зна­ча­ет­ся $\overline{A}$. Ес­ли эле­мен­ты транс­по­ни­ро­ван­ной М. $A^T$ за­ме­ня­ют на ком­плекс­но со­пря­жён­ные им чис­ла, то по­лу­ча­ют М. $A^*=||a^*_{ij}||$, на­зы­вае­мую со­пря­жён­ной или эр­ми­то­во-со­пря­жён­ной с $A$, здесь $a^*_{ij}=\overline{a}^*_{ij}$.

Действия над матрицами

(все М. рас­смат­ри­ва­ют­ся над од­ним по­лем $K$). Важ­ней­ши­ми ал­геб­ра­ич. опе­ра­ция­ми над М. яв­ля­ют­ся сло­же­ние М., ум­но­же­ние М. на чис­ло (эле­мент по­ля $K$), ум­но­же­ние мат­риц.

Сум­мой $A+B$ двух пря­мо­уголь­ных М. $A$ и $B$ од­но­го раз­ме­ра $m×n$ на­зы­ва­ет­ся М. $C$ раз­ме­ра $m×n$, для ко­то­рой эле­мент $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$, т. е. ра­вен сум­ме со­от­вет­ст­вую­щих эле­мен­тов сла­гае­мых. Про­из­ве­де­ни­ем М. $A$ на чис­ло $α$ на­зы­ва­ет­ся М. $αA$, эле­мен­ты ко­то­рой по­лу­ча­ют­ся из эле­мен­тов М. $A$ ум­но­же­ни­ем на $α$ , т. е. $αA=||αa_{ij}||$, $i= 1,...,m$, $j=1,...,n$. Эти опе­ра­ции об­ла­да­ют свой­ст­ва­ми

$$A+B=B+A,\\α(A+B)=αA+αB,\\A+(B+C)=(A+B)+C,\\(α+β)A=αA+βB,\\α(βA)=(αβ)A$$ .

Ум­но­же­ние М. оп­ре­де­ля­ет­ся толь­ко для та­ких пар М., у ко­то­рых чис­ло столб­цов в 1-м со­мно­жи­те­ле рав­но чис­лу строк во 2-м со­мно­жи­те­ле, при этом про­из­ве­де­ние $AB$ М. $A=||a_{ij}||$ раз­ме­ра $m×n$ на М. $B=||b_{jk}||$ раз­ме­ра $n×s$ есть М. $C=||c_{ik}||$, для ко­то­рой $$c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ik},\:i=1,...,m,\:k=1,...,s$$

(пра­ви­ло ум­но­же­ния стро­ки на стол­бец). Ум­но­же­ние М. об­ла­да­ет свой­ст­ва­ми

$$(AB)C=A(BC),\\(A+B)C=AC+BC,\\A(B+C)=AB+AC,\\α(AB)=(αA)B=A(αB).$$

Спра­вед­ли­вы так­же ра­вен­ст­ва

$(AB)^T=B^TA^T, \overline{AB}=\overline{A}\overline{B}, (AB)^*=B^*A^*.$

Про­из­ве­де­ния $AB$ и $BA$, ес­ли они оп­ре­де­ле­ны од­но­вре­мен­но, напр. для квад­рат­ных М. од­но­го по­ряд­ка, во­об­ще го­во­ря, за­ви­сят от по­ряд­ка со­мно­жи­те­лей, т. е. ра­вен­ст­во $AB=BA$ мо­жет не вы­пол­нять­ся; напр., 

$\begin{Vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$=$\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix},$

$\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$=$\begin{Vmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}.$

Ес­ли $AB=BA$, то М. $A$ и $B$ на­зы­ва­ют­ся пе­ре­ста­но­воч­ны­ми (ком­му­ти­рую­щи­ми).

Квадратные матрицы

Эле­мен­ты $a_{ii}$, $i=1,...,n$, квад­рат­ной М. $A=\parallel a_{ij}\parallel _1^n$ на­зы­ва­ют­ся диа­го­наль­ны­ми; эти эле­мен­ты рас­по­ло­же­ны на т. н. глав­ной диа­го­на­ли М. Квад­рат­ная М., у ко­то­рой все эле­мен­ты, не ле­жа­щие на гл. диа­го­на­ли, рав­ны ну­лю, т. е. М. ви­да $$\begin{Vmatrix} d_1 &0 &... &0 \\ 0& d_2 & ... & 0\\ ...&... &... &... \\ 0&0 &... & d_n \end{Vmatrix}$$

на­зы­ва­ет­ся диа­го­наль­ной и обыч­но обо­зна­ча­ет­ся $\textrm{diag} (d_1,...,d_n)$. Ес­ли в диа­го­наль­ной М. все эле­мен­ты на гл. диа­го­на­ли рав­ны еди­ни­це, то М. на­зы­ва­ет­ся еди­нич­ной и обо­зна­ча­ет­ся $E$ или $I$ (со­от­вет­ст­вен­но $E_n$ или $I_n$, ес­ли нуж­но ука­зать её по­ря­док): $$E=\begin{Vmatrix} 1 &0 &... &0 \\ 0& 1 & ... & 0\\ ...&... &... &... \\ 0&0 &... & 1 \end{Vmatrix}$$

Для лю­бой М. $A$ раз­ме­ра $m×n$ спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва

$AE_n=A, \:E_mA=A.$

Ка­ж­дой квад­рат­ной М. мож­но по­ста­вить в со­от­вет­ст­вие чис­ло (эле­мент по­ля $K$), на­зы­вае­мое её оп­ре­де­ли­те­лем

или де­тер­ми­нан­том. Ми­но­ром $k$-го по­ряд­ка мат­ри­цы $A$ раз­ме­ра $m×n$ на­зы­ва­ет­ся оп­ре­де­ли­тель $k$-го по­ряд­ка, со­став­лен­ный из эле­мен­тов, на­хо­дя­щих­ся на пе­ре­се­че­нии не­ко­то­рых $k$ строк и $k$ столб­цов мат­ри­цы $A$ в их ес­те­ст­вен­ном рас­по­ло­же­нии. Ран­гом мат­ри­цы $A$ на­зы­ва­ет­ся мак­си­маль­ный по­ря­док от­лич­ных от ну­ля ми­но­ров мат­ри­цы $A$.

Оп­ре­де­ли­тель про­из­ве­де­ния двух квад­рат­ных М. ра­вен про­из­ве­де­нию их оп­ре­де­ли­те­лей. Квад­рат­ная М. на­зы­ва­ет­ся не­вы­ро­ж­ден­ной, ес­ли её оп­ре­де­ли­тель не ра­вен ну­лю; в про­тив­ном слу­чае М. на­зы­ва­ет­ся вы­ро­ж­ден­ной. Для лю­бой не­вы­ро­ж­ден­ной М. $A$ су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ная об­рат­ная мат­ри­ца $A^{–1}$ , оп­ре­де­ляе­мая ра­вен­ст­вом $AA^{–1}=E$. Об­рат­ная мат­ри­ца пе­ре­ста­но­воч­на с ис­ход­ной, т. е. $AA^{–1}=A^{–1}A=E$. Спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $(AB)^{–1}=B^{–1}A^{–1}$.

Квад­рат­ные М. $A$ и $B$ од­но­го по­ряд­ка $n$ на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ет не­вы­ро­ж­ден­ная М. $S$ то­го же по­ряд­ка $n$ та­кая, что $B=S^{–1}AS$. Од­ной из за­дач тео­рии М. яв­ля­ет­ся по­иск М. $B$, по­доб­ной М. $A$ и имею­щей бо­лее про­стой вид. Ре­ше­ние этой за­да­чи свя­за­но с рас­смот­ре­ни­ем ха­рак­те­ри­стич. мно­го­чле­на М. $A$ и соб­ст­вен­ных век­то­ров со­от­вет­ст­вую­ще­го ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния

. В ка­че­ст­ве ка­но­нич. ви­да М., по­доб­ной дан­ной, при­ни­ма­ет­ся, напр., жор­да­но­ва нор­маль­ная фор­ма М., ко­гда М. $B$ пред­став­ля­ет­ся в ви­де $$\begin{Vmatrix} B_1 &0 &... &0 \\ 0& B_2 & ... & 0\\ ...&... &... &... \\ 0&0 &... & B_p \end{Vmatrix}$$

где $B_1,...,B_p$ – т. н. жор­да­но­вы клет­ки, т. е. квад­рат­ные мат­ри­цы ви­да $$\begin{Vmatrix} \lambda _i &1 & & & & &0 \\ &\lambda _i & 1 & & & & \\ & & . & & & & \\ & & & . & & & \\ & & & & . & & \\ & & & & & \lambda _i & 1\\ 0& & & & & &\lambda _i \end{Vmatrix},$$

где $λ_i$, $i=1,...,p$, – собств. зна­че­ния ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния с М. $A$.

В таб­ли­це да­ны оп­ре­де­ле­ния не­ко­то­рых важ­ных ти­пов ком­плекс­ных М. со спец. свой­ст­ва­ми сим­мет­рии.

Эр­ми­то­ва (и, в ча­ст­но­сти, сим­мет­ри­ческая) М. с дей­ст­ви­тель­ны­ми эле­мента­ми по­доб­на диа­го­наль­ной М. $B = \textrm{diag} (λ_1,...,λ_n)$, где все $λ_i$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла. В ка­че­ст­ве М. $S$ в фор­му­ле $B=S^{–1}AS$ мож­но взять для эр­ми­то­вой М. уни­тар­ную, а для сим­мет­ри­че­ской – ор­то­го­наль­ную М. Это свой­ст­во сим­мет­рич. М. с дей­ст­ви­тель­ны­ми эле­мен­та­ми ле­жит в ос­но­ве ме­то­да при­ве­де­ния квад­ра­тич­ной фор­мы

к гл. осям, при­ме­няе­мо­го в ана­ли­тич. гео­мет­рии и ме­ха­ни­ке.

Функции от матриц

Для лю­бой квад­рат­ной М. $A$ сте­пень М. с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем оп­ре­де­ля­ет­ся как про­из­ве­де­ние оди­на­ко­вых со­мно­жи­те­лей $A:$ $A^k= A...A$, при этом по­ла­га­ют $A^0=E$. Каж­дый мно­го­член

$P_n(t)=a_0t^n+a_1t^{n–1}+...+a_{n–1}t+a_n$

сте­пе­ни $n$ с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми $a_0, a_1,...,a_n$ из по­ля $K$ оп­ре­де­ля­ет функ­цию от квад­рат­ной мат­ри­цы $A$ над по­лем $K$, имею­щую вид

$P_n(X)=a_0X^n+a_1X^{n–1}+...+a_{n–1}X+a_nE.$

Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же ана­ли­тич. функ­ции от М. Ес­ли ана­ли­тич. функ­ция $f(t)$ оп­ре­де­ля­ет­ся ря­дом $$f(t)=\sum_{k=0}^{\infty }a_kt^k,$$

схо­дя­щим­ся на всей ком­плекс­ной плос­ко­сти, то мож­но рас­смат­ри­вать функ­цию от М. $A$ $$f(X)=\sum_{k=0}^{\infty }a_kX^k,$$

напр., $$e^X=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{X^k}{k!}.$$

Применения матриц

Мат­рич­ный язык, обо­зна­че­ния и мат­рич­ные вы­чис­ле­ния ис­поль­зу­ют­ся в разл. об­лас­тях совр. ма­тема­ти­ки и её при­ло­же­ний. М. яв­ля­ют­ся осн. ма­те­ма­тич. ап­па­ра­том ли­ней­ной ал­геб­ры

и при­ме­ня­ют­ся при ис­сле­до­ва­нии ли­ней­ных ото­бра­же­ний век­тор­ных про­ст­ранств, ли­ней­ных и квад­ра­тич­ных форм, сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. М. ис­поль­зу­ют­ся в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе, ме­ха­ни­ке и тео­ре­тич. элек­тро­тех­ни­ке, кван­то­вой теории и др. (см. Матричные ме­тоды

 >>

). Бес­ко­неч­ные М. ис­поль­зу­ют­ся в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе (тео­рия ли­ней­ных опе­ра­то­ров, тео­рия пред­став­ле­ний групп).

Ис­то­ри­че­ская справ­ка. Впер­вые М. как ма­те­ма­тич. по­ня­тие поя­ви­лось в ра­бо­тах У. Га­миль­то­на

, А. Кэ­ли

 >>

и Дж. Силь­ве­ст­ра

 >>

в сер. 19 в. Ос­но­вы тео­рии М. соз­да­ны К. Вей­ер­шт­рас­сом

 >>

и Ф. Г. Фро­бе­ниу­сом

 >>

во 2-й пол. 19 – нач. 20 вв. Совр. обо­зна­че­ние – две вер­ти­каль­ные чер­ты – ввёл Кэ­ли (1841).