МА́ТРИЧНЫЕ МЕ́ТОДЫ

МА́ТРИЧНЫЕ МЕ́ТОДЫ в фи­зи­ке, ис­поль­зу­ют­ся для опи­са­ния пре­об­ра­зо­ва­ния фи­зич. ве­ли­чин и про­цес­сов, в ко­то­рых одно­вре­мен­но ис­сле­ду­ют­ся два или бо­лее па­ра­мет­ра или ха­рак­те­ри­сти­ки. М. м. при­ме­ня­ют­ся для опи­са­ния ли­ней­ных свя­зей, что по­зво­ля­ет ис­поль­зо­вать ме­то­ды мат­рич­ной ли­ней­ной ал­геб­ры. При этом М. м. мо­гут опи­сы­вать­ся как клас­си­че­ские, так и кван­то­вые фи­зич. сис­те­мы и про­цес­сы.

В оп­ти­ке по­строе­ние изо­бра­же­ния оп­тич. эле­мен­та­ми (зер­ка­ла­ми, лин­за­ми, приз­ма­ми) мож­но пред­ста­вить в ви­де мат­рич­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Ес­ли за­дать объ­ект в ви­де век­то­ра в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве объ­ек­тов, то его изо­бра­же­ние пло­ским зер­ка­лом оп­ре­де­ля­ет­ся век­то­ром в про­стран­ст­ве изо­бра­же­ний, ко­то­рый яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем ис­ход­но­го век­то­ра на мат­ри­цу $3 × 3$ плос­ко­го зер­ка­ла. Ес­ли зер­ка­ло вра­ща­ет­ся, то по­лу­ча­ет­ся раз­вёрт­ка изо­бра­же­ния, ко­то­рую ис­поль­зу­ют, напр., при ре­ги­ст­ра­ции быс­тро­про­те­каю­щих про­цес­сов. В слу­чае сфе­рич. зер­кал и линз М. м. по­зво­ля­ют опи­сы­вать про­цес­сы толь­ко в па­ра­кси­аль­ной об­лас­ти, ко­гда си­ну­сы и тан­ген­сы уг­лов на­кло­на лу­чей к оп­тич. оси мож­но за­ме­нить уг­ла­ми. Мож­но так­же учи­ты­вать ди­фрак­цию, ас­тиг­ма­тизм и хро­ма­тизм. М. м. удоб­ны тем, что дей­ст­вие сколь угод­но боль­шо­го чис­ла по­сле­до­ва­тель­ных оп­тич. эле­мен­тов опи­сы­ва­ет­ся по­сле­до­ва­тель­ным про­из­ве­де­ни­ем их мат­риц. По­лез­ным яв­ля­ет­ся мат­рич­ное опи­са­ние ре­зо­на­то­ров ла­зе­ров и мно­го­лу­че­вых ин­тер­фе­ро­мет­ров. Для на­хо­ж­де­ния про­стран­ст­вен­ной струк­ту­ры элек­тро­маг­нит­но­го по­ля на зер­ка­лах ре­зо­на­то­ра на­до ре­шать ин­те­граль­ное урав­не­ние, что эк­ви­ва­лент­но пре­об­ра­зо­ва­нию по­ля бес­ко­неч­ным чис­лом ре­зо­на­тор­ных зер­кал для по­лу­че­ния са­мо­вос­про­из­во­дя­щих­ся про­стран­ст­вен­ных струк­тур (ре­зо­на­тор­ных мод по­ля). С ис­поль­зо­ва­ни­ем М. м. это сво­дит­ся к за­да­че на пе­ре­мно­же­ние мат­риц и на­хо­ж­де­ние их соб­ст­вен­ных век­то­ров и соб­ст­вен­ных зна­че­ний.

М. м. ис­поль­зу­ют­ся так­же в оп­тич. за­да­чах на юс­ти­ров­ку, по­сколь­ку не­сов­па­де­ния оп­тич. осей эле­мен­тов сис­те­мы с об­щей оп­тич. осью сис­те­мы так­же опи­сы­ва­ют­ся мат­рич­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ния­ми.

М. м. ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся при ис­сле­до­ва­нии пре­об­ра­зо­ва­ний со­стоя­ний по­ля­ри­за­ции све­та, ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют­ся, как ми­ни­мум, дву­мя па­ра­мет­ра­ми. Напр., мож­но за­дать две по­пе­реч­ные со­став­ляю­щие на­пря­жён­но­сти элек­трич. по­ля пло­ской вол­ны $E_x$ и $E_y$, пред­став­ляю­щие со­бой век­тор Джон­са, ес­ли их рас­по­ло­жить в стол­бец. То­гда пре­об­ра­зо­ва­ние све­та по­ля­ри­за­то­ра­ми, ана­ли­за­то­ра­ми, фа­зо­вы­ми пла­стин­ка­ми мож­но опи­сать мат­ри­цей $2×2$, а их по­сле­до­ва­тель­ное дей­ст­вие – про­из­ве­де­ни­ем мат­риц. Этот ме­тод при­ме­ним для пло­ских волн ко­ге­рент­но­го иде­аль­но по­ля­ри­зо­ван­но­го све­та и удо­бен при ра­бо­те с ла­зе­ра­ми. В слу­чае час­тич­ной по­ля­ри­за­ции, не­ко­ге­рент­но­сти и/или для мно­го­мо­до­вых ши­ро­ких пуч­ков ис­поль­зу­ют­ся че­ты­рёх­мер­ные век­то­ры Сто­кса, ком­по­нен­ты ко­то­рых рав­ны $|E_x|^2+|E_y|^2,\: |E_x|^2-|E_y|^2,\:E_xE^*_y+E^*_xE_y,\:E_xE^*_y-E^*_xE_y$.

При ус­ред­не­нии они пред­став­ля­ют со­бой вто­рые мо­мен­ты ам­пли­туд по­ля и име­ют раз­мер­ность ин­тен­сив­но­сти. По­это­му су­пер­по­зи­ция не­ко­ге­рент­ных мод ши­ро­ких пуч­ков опи­сы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров Сто­кса ка­ж­дой мо­ды, а пре­об­ра­зо­ва­ние их разл. оп­тич. эле­мен­та­ми – мат­ри­ца­ми Мюл­ле­ра $4×4$.

М. м. да­ют пре­иму­ще­ст­ва в циф­ро­вой ком­пь­ю­тер­ной об­ра­бот­ке изо­бра­же­ний и циф­ро­вой го­ло­гра­фии. Напр., сдвиг изо­бра­же­ния, обыч­но опи­сы­вае­мый в ви­де ин­те­гра­ла свёрт­ки, в дис­крет­ном пред­став­ле­нии за­ме­ня­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем мат­ри­цы сдви­га на век­тор изо­бра­же­ния. Для улуч­ше­ния изо­бра­же­ния его век­тор на­до ум­но­жить на об­рат­ную мат­ри­цу сдви­га. Су­ще­ст­ву­ют и бо­лее слож­ные ал­го­рит­мы, учи­ты­ваю­щие на­ли­чие шу­ма.

В кван­то­вой тео­рии М. м. ис­поль­зу­ют­ся для опи­са­ния кван­то­вых со­стоя­ний фи­зич. сис­тем, для че­го вво­дят мат­ри­цу плот­но­сти, а так­же для опи­са­ния ве­ро­ят­но­сти пе­ре­хо­да сис­тем при их взаи­мо­дей­ст­вии из од­них со­стоя­ний в дру­гие – с по­мо­щью мат­ри­цы рас­сея­ния. М. м. при­ме­ня­ют­ся так­же для опи­са­ния разл. ви­дов сим­мет­рии. Сис­те­ма об­ла­да­ет сим­мет­ри­ей, ес­ли не­ко­то­рое пре­об­ра­зо­ва­ние её эле­мен­тов со­хра­ня­ет не­из­мен­ны­ми её свой­ст­ва. Напр., по­сле­до­ва­тель­ное па­ра­мет­рич. пре­об­ра­зо­ва­ние од­но­фо­тон­но­го со­стоя­ния $|1〉$ в двух­фо­тон­ное $|2〉$ и об­рат­но опи­сы­ва­ет­ся мат­ри­ца­ми $SU(2)$, имею­щи­ми раз­мер­ность $2× 2$. При этом ли­ней­ная су­пер­по­зи­ция $α |1〉+β |2〉 $ ото­бра­жа­ет­ся са­ма на се­бя, но с др. ком­плекс­ны­ми ко­эффициентами $α$ и $β$, при­чём все­гда

$|α (t)|^2+ |β (t)|^2= 1$, так что век­тор $\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ при воз­дей­ст­вии на не­го мат­ри­цы $SU(2)$  про­сто вра­ща­ет­ся.

М. м. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся для ре­ше­ния фи­зич. и др. за­дач. Это под­твер­жда­ет­ся, в ча­ст­но­сти, тем, что в совр. па­ке­те ком­пь­ю­тер­ных про­грамм MATLAB (Ма­те­ма­тич. ла­бо­ра­то­рия) в ка­че­ст­ве осн. пе­ре­мен­ных ис­поль­зу­ют­ся мат­ри­цы.