МА́ТРИЦА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МА́ТРИЦА, таблица вида $$\begin{Vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...&... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2} &... & a_{mn} \end{Vmatrix}$$
или $$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...&... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2} &... & a_{mn} \end{pmatrix}$$
образованная из элементов некоторого множества и состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов. Эта таблица называется прямоугольной М. размера $m×n$ (читается «$m$ на $n$», знак $×$ не означает умножение) или ($m×n$)-матрицей с элементами $a_{ij}$, элемент $a_{ij}$ расположен в $i$-й строке и $j$-м столбце, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. При $m=n$ М. называется квадратной, а число $n$ – её порядком. М. $A$ и $B$ считаются равными, если они имеют один и тот же размер и элементы, стоящие в $A$ и $B$ на одинаковых местах, равны между собой, т. е. $a_{ij}=b_{ij}$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. Сокращённо М. обозначается $A=||a_{ij}||$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. Квадратная М. в сокращённой записи иногда обозначается $||a_{ij}||_1^n$. М., состоящая из одной строки, называется строкой (вектор-строкой), а состоящая из одного столбца – столбцом (вектор-столбцом). М., получающаяся из М. $A$ заменой строк столбцами, называется транспонированной матрицей по отношению к $A$ и обозначается $A^T$ (иногда $A′$).
Чаще всего рассматриваются М., элементами которых являются действительные или комплексные числа или элементы некоторого поля $K$; соответственно М. называются действительными, комплексными или М. над полем $K$. Если $A$ – комплексная М., то М., получающаяся из $A$ заменой её элементов комплексно сопряжёнными, называется М., комплексно сопряжённой с $A$, и обозначается $\overline{A}$. Если элементы транспонированной М. $A^T$ заменяют на комплексно сопряжённые им числа, то получают М. $A^*=||a^*_{ij}||$, называемую сопряжённой или эрмитово-сопряжённой с $A$, здесь $a^*_{ij}=\overline{a}^*_{ij}$.
Действия над матрицами
(все М. рассматриваются над одним полем $K$). Важнейшими алгебраич. операциями над М. являются сложение М., умножение М. на число (элемент поля $K$), умножение матриц.
Суммой $A+B$ двух прямоугольных М. $A$ и $B$ одного размера $m×n$ называется М. $C$ размера $m×n$, для которой элемент $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$, т. е. равен сумме соответствующих элементов слагаемых. Произведением М. $A$ на число $α$ называется М. $αA$, элементы которой получаются из элементов М. $A$ умножением на $α$ , т. е. $αA=||αa_{ij}||$, $i= 1,...,m$, $j=1,...,n$. Эти операции обладают свойствами
$$A+B=B+A,\\α(A+B)=αA+αB,\\A+(B+C)=(A+B)+C,\\(α+β)A=αA+βB,\\α(βA)=(αβ)A$$.
Умножение М. определяется только для таких пар М., у которых число столбцов в 1-м сомножителе равно числу строк во 2-м сомножителе, при этом произведение $AB$ М. $A=||a_{ij}||$ размера $m×n$ на М. $B=||b_{jk}||$ размера $n×s$ есть М. $C=||c_{ik}||$, для которой $$c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ik},\:i=1,...,m,\:k=1,...,s$$
(правило умножения строки на столбец). Умножение М. обладает свойствами
$$(AB)C=A(BC),\\(A+B)C=AC+BC,\\A(B+C)=AB+AC,\\α(AB)=(αA)B=A(αB).$$
Справедливы также равенства
$(AB)^T=B^TA^T, \overline{AB}=\overline{A}\overline{B}, (AB)^*=B^*A^*.$
Произведения $AB$ и $BA$, если они определены одновременно, напр. для квадратных М. одного порядка, вообще говоря, зависят от порядка сомножителей, т. е. равенство $AB=BA$ может не выполняться; напр.,
$\begin{Vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$=$\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix},$
$\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}$=$\begin{Vmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}.$
Если $AB=BA$, то М. $A$ и $B$ называются перестановочными (коммутирующими).
Квадратные матрицы
Элементы $a_{ii}$, $i=1,...,n$, квадратной М. $A=\parallel a_{ij}\parallel _1^n$ называются диагональными; эти элементы расположены на т. н. главной диагонали М. Квадратная М., у которой все элементы, не лежащие на гл. диагонали, равны нулю, т. е. М. вида $$\begin{Vmatrix} d_1 &0 &... &0 \\ 0& d_2 & ... & 0\\ ...&... &... &... \\ 0&0 &... & d_n \end{Vmatrix}$$
называется диагональной и обычно обозначается $\textrm{diag} (d_1,...,d_n)$. Если в диагональной М. все элементы на гл. диагонали равны единице, то М. называется единичной и обозначается $E$ или $I$ (соответственно $E_n$ или $I_n$, если нужно указать её порядок): $$E=\begin{Vmatrix} 1 &0 &... &0 \\ 0& 1 & ... & 0\\ ...&... &... &... \\ 0&0 &... & 1 \end{Vmatrix}$$
Для любой М. $A$ размера $m×n$ справедливы равенства
$AE_n=A, \:E_mA=A.$
Каждой квадратной М. можно поставить в соответствие число (элемент поля $K$), называемое её определителем или детерминантом. Минором $k$-го порядка матрицы $A$ размера $m×n$ называется определитель $k$-го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении некоторых $k$ строк и $k$ столбцов матрицы $A$ в их естественном расположении. Рангом матрицы $A$ называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы $A$.
Определитель произведения двух квадратных М. равен произведению их определителей. Квадратная М. называется невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае М. называется вырожденной. Для любой невырожденной М. $A$ существует единственная обратная матрица $A^{–1}$ , определяемая равенством $AA^{–1}=E$. Обратная матрица перестановочна с исходной, т. е. $AA^{–1}=A^{–1}A=E$. Справедливо равенство $(AB)^{–1}=B^{–1}A^{–1}$.
Квадратные М. $A$ и $B$ одного порядка $n$ называются подобными, если существует невырожденная М. $S$ того же порядка $n$ такая, что $B=S^{–1}AS$. Одной из задач теории М. является поиск М. $B$, подобной М. $A$ и имеющей более простой вид. Решение этой задачи связано с рассмотрением характеристич. многочлена М. $A$ и собственных векторов соответствующего линейного преобразования. В качестве канонич. вида М., подобной данной, принимается, напр., жорданова нормальная форма М., когда М. $B$ представляется в виде $$\begin{Vmatrix} B_1 &0 &... &0 \\ 0& B_2 & ... & 0\\ ...&... &... &... \\ 0&0 &... & B_p \end{Vmatrix} $$
где $B_1,...,B_p$ – т. н. жордановы клетки, т. е. квадратные матрицы вида $$\begin{Vmatrix} \lambda _i &1 & & & & &0 \\ &\lambda _i & 1 & & & & \\ & & . & & & & \\ & & & . & & & \\ & & & & . & & \\ & & & & & \lambda _i & 1\\ 0& & & & & &\lambda _i \end{Vmatrix},$$
где $λ_i$, $i=1,...,p$, – собств. значения линейного преобразования с М. $A$.
В таблице даны определения некоторых важных типов комплексных М. со спец. свойствами симметрии.
| Матрица | Определяющее условие |
| Симметрическая | $A^T=A$ |
| Кососимметрическая | $A^T=–A$ |
| Эрмитова | $A^*=A$ |
| Косоэрмитова | $A^*=-A$ |
| Ортогональная | $A^T=A^{-1}$ |
| Унитарная | $A^*=A^{-1}$ |
| Нормальная | $AA^*=A^*A$ |
Эрмитова (и, в частности, симметрическая) М. с действительными элементами подобна диагональной М. $B = \textrm{diag} (λ_1,...,λ_n)$, где все $λ_i$ – действительные числа. В качестве М. $S$ в формуле $B=S^{–1}AS$ можно взять для эрмитовой М. унитарную, а для симметрической – ортогональную М. Это свойство симметрич. М. с действительными элементами лежит в основе метода приведения квадратичной формы к гл. осям, применяемого в аналитич. геометрии и механике.
Функции от матриц
Для любой квадратной М. $A$ степень М. с натуральным показателем определяется как произведение одинаковых сомножителей $A:$ $A^k= A...A$, при этом полагают $A^0=E$. Каждый многочлен
$P_n(t)=a_0t^n+a_1t^{n–1}+...+a_{n–1}t+a_n$
степени $n$ с коэффициентами $a_0, a_1,...,a_n$ из поля $K$ определяет функцию от квадратной матрицы $A$ над полем $K$, имеющую вид
$P_n(X)=a_0X^n+a_1X^{n–1}+...+a_{n–1}X+a_nE.$
Рассматриваются также аналитич. функции от М. Если аналитич. функция $f(t)$ определяется рядом $$ f(t)=\sum_{k=0}^{\infty }a_kt^k,$$
сходящимся на всей комплексной плоскости, то можно рассматривать функцию от М. $A$ $$f(X)=\sum_{k=0}^{\infty }a_kX^k,$$
напр., $$ e^X=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{X^k}{k!}.$$
Применения матриц
Матричный язык, обозначения и матричные вычисления используются в разл. областях совр. математики и её приложений. М. являются осн. математич. аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. М. используются в математич. анализе, механике и теоретич. электротехнике, квантовой теории и др. (см. Матричные методы). Бесконечные М. используются в функциональном анализе (теория линейных операторов, теория представлений групп).
Историческая справка. Впервые М. как математич. понятие появилось в работах У. Гамильтона, А. Кэли и Дж. Сильвестра в сер. 19 в. Основы теории М. созданы К. Вейерштрассом и Ф. Г. Фробениусом во 2-й пол. 19 – нач. 20 вв. Совр. обозначение – две вертикальные черты – ввёл Кэли (1841).