КВАДРАТИ́ЧНАЯ ФО́РМА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КВАДРАТИ́ЧНАЯ ФО́РМА, однородный многочлен 2-й степени от $n$ переменных $x_1$, $x_2$,…, $x_n$, т. е. многочлен вида $$q=\displaystyle \sum_{i=1}^n b_{ii}x_i^2 + \sum_{i \lt j}b_{ij}x_ix_j.$$Обычно предполагается, что коэффициенты К. ф. являются действительными или комплексными числами, в этом случае К. ф. можно записать в виде $$q=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j,\tag{*}$$где $a_{ij}=a_{ji}, i, j=1, \dots, n$. Симметричная матрица $A=||a_{ij}||$ называется матрицей квадратичной формы.
К. ф. можно рассматривать как функцию от $n$ переменных или от вектора в $n$-мерном векторном пространстве. Переход к др. системе координат (др. базису) в этом векторном пространстве приводит к замене переменных $x_1, \dots, x_n$ в К. ф. новыми переменными $y_1, \dots, y_n$, линейно выражающимися через $x_1, \dots, x_n$. Матрица К. ф. $(\ast)$ в новой системе координат имеет вид $\tilde{A}=C^TAC$, где $C=||c_{ij}||$ – матрица перехода от старого базиса к новому $(x_i=\sum^n_{j=1}c_{ij}y_i, i=1, \dots, n)$, а $T$ означает транспонирование (см. Матрица). Переход к новому базису используется, напр., для упрощения уравнения линии (поверхности) 2-го порядка.
Для любой К. ф. существует базис, в котором её матрица диагональна, в этом случае $$q=a_{11}x_1^2+ \ldots +a_{nn}x_n^2.$$Такой вид К. ф. называется каноническим. Если коэффициенты К. ф. – комплексные числа, то можно выбрать все ненулевые коэффициенты $a_{11}, \dots, a_{nn}$ равными единице. Базис, в котором К. ф. принимает канонич. вид, не единственен, но число ненулевых коэффициентов в канонич. виде не зависит от выбора базиса и называется рангом К. ф. Над полем действительных чисел К. ф. можно привести к канонич. виду, в котором все ненулевые коэффициенты равны 1 или –1. Такой вид К. ф. называется нормальным. Количество коэффициентов, равных 1 или –1, не зависит от выбора базиса (теорема Сильвестра, или закон инерции). Разность между числом положительных и числом отрицательных членов в нормальном виде К. ф. называется её сигнатурой. Если все ненулевые коэффициенты в нормальном виде К. ф. равны 1 (–1), то К. ф. называется положительно определённой (отрицательно определённой), в противном случае форма называется неопределённой.
Для К. ф., заданных в евклидовом пространстве и имеющих действительные коэффициенты, справедлива теорема о приведении к гл. осям: от любого ортонормированного базиса можно перейти к др. такому ортонормированному базису, что К. ф. имеет в нём канонич. вид. Замена координат осуществляется при этом ортогональной матрицей. В применении к линиям и поверхностям 2-го порядка это даёт их приведение к гл. осям.
Теория К. ф. впервые изложена Ж. Лагранжем (1798). Общая теория К. ф. создана К. Гауссом (1801); ему же принадлежит термин «квадратичная форма».