ЛИНЕ́ЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛИНЕ́ЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ векторного пространства, линейное отображение векторного пространства $L$ в себя, т. е. отображение $𝒜: L→L$, при котором каждому вектору $x∈L$ сопоставляется некоторый вектор $𝒜x∈L$, его образ, и при этом$$𝒜(x+y)= 𝒜x+𝒜y,$$$$𝒜(αx)=α 𝒜x$$для любых векторов $x$, $y∈L$ и любого $α$ из поля $k$, над которым рассматривается векторное пространство $L$. Л. п. векторного пространства $L$ называется также линейным оператором из $L$ в $L$, а также эндоморфизмом пространства $L$. Если $𝒜$ и $𝓑$ – Л. п. пространства $L$, то $𝒜+𝓑$, $𝒜𝓑$ и $α𝒜$ для любого $α∈k$ также являются Л. п. пространства $L$.
Примерами Л. п. являются: тождественное преобразование, оставляющее все векторы пространства $L$ без изменения; нулевое Л. п., сопоставляющее каждому вектору из $L$ нулевой вектор; поворот плоскости на некоторый угол; дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше некоторого числа $m$.
Л. п. $𝒜$ соответствует матрица $A$ этого Л. п. такая, что $Ax=𝒜x$ для всех $x∈L$. Пусть в пространстве $L$ задан базис $e_1,...,e_n$. Матрицей Л. п. $𝒜$ в этом базисе является матрица $A$, $j$-й столбец которой состоит из координат вектора $Ae_j$ в базисе $e_1,...,e_n$. Тождественное Л. п. имеет в любом базисе единичную матрицу, нулевое Л. п. – нулевую матрицу; матрица дифференцирования в пространстве многочленов степени не выше $m$ в базисе 1, $x,...,x^m$ имеет вид\begin{Vmatrix} 0 & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 2 & ... & 0\\ & & & ... & \\ 0 & 0 & 0 & ... & m \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 \end{Vmatrix}.
При переходе к др. базису матрица $A$ Л. п. $𝒜$ заменяется подобной матрицей $S^{-1}AS$, где $S$ – матрица перехода от базиса $e_1,...,e_n$ к базису $e'_1,...,e'_n$. Поэтому определитель $det A$ матрицы Л. п.$A$ не зависит от выбора базиса; он называется определителем Л. п. $𝒜$.
Л. п. $𝒜$ называется невырожденным (или автоморфизмом), если $\text{det}\: A≠0$, и вырожденным в противном случае. Л. п. $𝒜$ является невырожденным тогда и только тогда, когда ранг матрицы $A$ равен размерности пространства $L$.
Подпространство $L′$ пространства $L$ называется инвариантным подпространством Л. п. $𝒜$, если для каждого вектора $x∈L′$ его образ $𝒜x$ также принадлежит $L′$. Ненулевой вектор $x∈L$ называется собственным вектором Л. п. $𝒜$, если существует такой элемент $λ∈k$, что
$𝒜x=λx.$
Элемент $λ$ , для которого выполняется это равенство, называется собственным значением Л. п., а о собственном векторе $x$ говорят, что он принадлежит собственному значению $λ$. Каждый собственный вектор $x$ Л. п. $𝒜$ порождает одномерное инвариантное подпространство $\left \{αx:α∈k\right \}$ Л. п. $𝒜$ . Элемент $λ$ из поля $k$ является собственным значением Л. п. $𝒜$ тогда и только тогда, когда $λ$ является корнем характеристич. многочлена $p(λ)=\text{det}(A-λE)$ матрицы $A$, где $A$ – матрица Л. п. $𝒜$ в некотором базисе, $E$ – единичная матрица. Многочлен $p(λ)$ не зависит от выбора базиса и называется также характеристич. многочленом Л. п. $𝒜$.
Матрица Л. п. $𝒜$ имеет в данном базисе диагональный вид тогда и только тогда, когда базис состоит из собственных векторов; при этом на диагонали матрицы стоят собственные значения, каждое из которых встречается столько раз, какова кратность этого собственного значения как корня характеристич. многочлена. Базис из собственных векторов существует, в частности, в том случае, когда характеристич. многочлен имеет $n$ разл. корней в поле $k$, где $n$ – размерность пространства $L$. Если характеристич. многочлен имеет кратный корень, то матрицу Л. п., вообще говоря, нельзя привести к диагональному виду. В этом случае рассматривается т. н. жорданова нормальная форма матрицы.