КАТАСТРО́Ф ТЕО́РИЯ

Рубрика: Физика
В книжной версии

Том 13. Москва, 2009, стр. 330
Скопировать библиографическую ссылку:

Книжная версия:

Электронная версия:

Авторы: В. И. Арнольд

КАТАСТРО́Ф ТЕО́РИЯ, математич. описание катастроф – скачкообразных изменений, возникающих в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий; даётся теориями особенностей дифференцируемых (гладких) отображений

X. Уитни и бифуркаций

А. Пуанкаре и А. А. Андронова. Название введено Р. Томом в 1972. К. т. используется в геометрич. и физич. оптике, в теории элементарных частиц, в гидродинамике при расчётах устойчивости кораблей, в геологии, биологии, социологии, экономике, лингвистике, а также в медицине при исследовании биений сердца и психич. расстройств, при моделировании деятельности мозга и т. д. Теория особенностей применяется, когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии).

Теория особенностей обобщает исследование экстремумов функций на случай нескольких функций любого числа переменных. Критич. точкой функции $y$ называется точка, в которой все первые частные производные равны нулю, $\partial y/ \partial x_i=0$ ; критич. точка называется невырожденной, если матрица $\partial^2 y/ \partial x_i \partial x_j$ невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной функции все критич. точки невырождены. Любая гладкая функция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, $y=\pm x^2_1 \pm \ldots \pm x^2_n +C$ , гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая функция, достаточно близкая к $y=x^2$ (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка функции $y=x^3$ в нуле распадается на две критич. точки при возмущении, превращающем $x^3$ в $x^3- \varepsilon x$ .

Рис. 1.

Рис. 2.

Типичные отображения поверхности на плоскость $(R^2 \to R^2)$ также имеют лишь устойчивые особенности, а именно складку $(y_1=x^2_1, y_2=x_2)$ либо сборку Уитни $(y_1=x^3_1 +x_1x_2, y_2=x_2)$ . Сборка есть особенность проецирования поверхности $y_1=x^3_1+x_1x_2$ из пространства $(x_1, x_2, y_1)$ на плоскость $(y_1, x_2)$ (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений $R^3 \to R^3$ и $R^4 \to R^4$ таковы: 1) $y_1=x^2_1, y_i=x_i (i>1)$ ; 2) $y_1=x^3_1+x_1x_2, y_i=x_i (i>1)$ ; 3) $y_1=x^4_1+x^2_1x_2+x_1x_3, y_i=x_i (i>1)$ ; 4) $y_1=x^2_1 \pm x^2_2+x_1x_3+x_2x_4, y_2=x_1x_2, y_3=x_3, y_4=x_4$ ; 5) $y_1=x^5_1+x_1^3x_2+x_1^2x_3+x_1x_4, y_i=x_i (i>1)$ . Отображение $R^2 \to R^3$ обычно имеет особенностями лишь «зонтики» Уитни – Кэли (рис. 2; $y_1=x_1^2, y_2=x_1x_2, y_3=x_2$ ). При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение $R^n \to R^n$ при $n>8$ аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях.

Рис. 3.

В теории бифуркаций рассматривается динамическая система

, описываемая уравнением

$\dot {x}=\theta(x, \varepsilon)$ , c заданным векторным полем

$\theta$ в

$n$ -мерном фазовом пространстве {

$x$ }. Поле зависит от

$k$ -мерного параметра

$\varepsilon$ . Множество состояний равновесия определяет в (

$n+k$ )-мерном пространстве {

$x, \varepsilon$ }

$k$ -мерную поверхность

$\theta(x,\varepsilon)=0$ . В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство «управляющих параметров» {

$\varepsilon$ } может иметь особенности. Если рассматривать значения {

$\varepsilon$ } как функции на поверхности состояний равновесия, то точки, в которых якобиан этих функций равен 0, называются бифуркационными, а значения функций в этих точках – бифуркационными значениями параметров

$\varepsilon$ . При подходе управляющих параметров к бифуркационным значениям положения равновесия «бифурцируют» (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр. скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механич., упругую, электрическую, биологич., химич. и др.), откуда и назв. «теория катастроф».

Рис. 4.

Наибольший успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где не были известны даже типичные особенности каустик (см. Каустическая поверхность

) и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время

$t$ , нужно отложить отрезок длиной

$t$ на каждом луче нормали. Через некоторое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения на плоскости внутрь эллипса особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве – это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма

$x^2=y^3$ ) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками

$(a,b,c)$ , для которых многочлен

$x^4+ax^2+bx+c$ имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5).

Рис. 5.

Почти все особенности волновых фронтов можно описать как множества бифуркационных значений параметра $\mu$ , при которых возникают особенности отображения $(x, \mu)\to \mu$ гиперповерхности $F(x, \mu)=0$ в пространство $\mu$ , где $F$ – типичное семейство гладких функций вектора $x$ и векторного параметра $\mu$ . Типичные особенности каустик (или градиентных отображений $x \to \partial S/ \partial x$ , или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркационных значений параметра $\mu$ , при которых функция $F(x, \mu)$ переменной $x$ имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

$\begin{gather} F=x^5+ \mu_1x^3+ \mu_2x^2+ \mu_3x;\\ F=x_1^2x_2 \pm x_2^3+ \mu_1x_2^2+ \mu_2x_2+ \mu_3 x_1. \end{gather}$

Особенностям каустик и фронтов геометрич. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или в многомерном перевала методе

при слиянии нескольких стационарных точек. При подходе к точке каустики интеграл возрастает в

$\lambda^{-\nu}$ раз, где

$\lambda$ – длина волны, а показатель

$\nu$ равен: ¹/₆ для общей точки каустики (

$A_2$ , особенность Эйри); ¹/₄ для общей точки ребра возврата (

$A_3$ , особенность Пирси); 3/10 для ласточкина хвоста (особенность

$A_4$ ); 1/3 для кошелька и пирамиды (особенности

$D_4$ ). Эти особенности связаны с простыми группами Ли

$A_k \sim SU(k+1)$ ,

$D_k \sim O(2k)$ , а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы

$SU(2)$ ]. Показатель

$\nu$ определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенности, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенциальным полем скоростей (с иным значением

$\nu$ ) и т. п. Универсальность геометрии бифуркационных диаграмм позволяет использовать их для моделирования мн. различных по своему физич. смыслу явлений.

Библиография

Лит.: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М., 1980; Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М., 1982–1984. Т. 1–2; Арнольд В. И. Особенности, бифуркации и катастрофы // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. № 12; он же. Теория катастроф. 5-e изд. М., 2007; Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М., 1984. Кн. 1–2.

Иллюстрации

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.

prev next

Вернуться к началу

КАТАСТРО́Ф ТЕО́РИЯ

Ссылка на статью на E-mail

Спасибо!

Подписка на рассылку новостей