ПЕРЕВА́ЛА МЕ́ТОД

ПЕРЕВА́ЛА МЕ́ТОД, ме­тод на­хо­ж­де­ния асим­пто­ти­че­ских вы­ра­же­ний не­ко­то­рых ин­те­гра­лов. Мно­гие спец. функ­ции вы­ра­жа­ют­ся ин­те­гра­ла­ми ви­да $$\int_Ce^{zf(\tau)}d\tau,\qquad(*)$$ где $f(τ)=u(x, y)+iv(x, y)$ – ана­ли­тич. функ­ция от $τ=x+iy$ та­кая, что $u(x, y)$ стре­мит­ся к $-∞$ при при­бли­же­нии к кон­цам кон­ту­ра $C$. Для вы­чис­ле­ния этих ин­те­гра­лов при боль­ших по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях $z$ при­ме­ня­ет­ся П. м. Он со­сто­ит в том, что кон­тур $C$ де­фор­ми­ру­ет­ся в кон­тур $C′$, имею­щий те же кон­цы, что и $C$, и про­хо­дя­щий че­рез нуль $τ_0$ функ­ции $f′ (τ)$ по кри­вой ви­да $v(x, y)=const$ (по тео­ре­ме Ко­ши зна­че­ние ин­те­гра­ла не ме­ня­ет­ся при де­фор­ма­ции кон­ту­ра). На по­верх­но­сти $t=u(x, y)$ кон­тур $C′$ изо­бра­зит­ся пу­тём, про­хо­дя­щим че­рез точ­ку пе­ре­ва­ла этой по­верх­но­сти (от­сю­да назв. ме­то­да) так, что по обе сто­ро­ны этой точ­ки путь как мож­но кру­че спус­ка­ет­ся к боль­шим от­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям $u(x, y)$. По­это­му при дей­ст­ви­тель­ном по­ло­жи­тель­ном $z$ су­ще­ст­вен­ное влия­ние на зна­че­ние ин­те­гра­ла $(*)$ ока­зы­ва­ет лишь бли­жай­шая ок­ре­ст­ность точ­ки $τ_0$, и это об­стоя­тель­ст­во мо­жет быть ис­поль­зо­ва­но для по­лу­че­ния асим­пто­тич. вы­ра­же­ний ин­те­гра­ла, напр., за­ме­ной функ­ции $f(τ)$ в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $τ_0$ от­рез­ком её ря­да Тей­ло­ра.

Так, ес­ли $f(τ)=\ln τ-τ, –π<\arg τ⩽π$, и кон­тур $C$ со­еди­ня­ет точ­ки $τ=0$ и $τ=∞$, то $τ_0=1$ и ин­тег­ри­ро­вать сле­ду­ет по дей­ст­вит. по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси, при­чём $$\int_-^{\infty}e^{z(\ln \tau - \tau)}d\tau = \int_0^{\infty}\exp z \left(-1-\frac{1}{2}(1-\tau)^2-\frac{1}{3}(1-\tau)^3-\dots \right)d\tau.$$ От­сю­да, ог­ра­ни­чи­ва­ясь ок­ре­ст­но­стью $0<τ<2$ точ­ки $τ_0=1$ и по­ла­гая $\sqrt z(1-\tau)=\sigma$, на­хо­дят асим­пто­тич. вы­ра­же­ние (при $z→∞$) $$\int_0^{\infty}e^{z(\ln \tau - \tau)}d\tau \sim \frac{e^{-z}}{\sqrt z}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2}d\sigma=\sqrt{\frac{2\pi}{z}}e^{-z}.$$

П. м., как пра­ви­ло, да­ёт воз­мож­ность най­ти весь асим­пто­тич. ряд для ин­те­гра­ла $(*)$.