МЕ́ТРИКА ПРОСТРА́НСТВА-ВРЕ́МЕНИ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
МЕ́ТРИКА ПРОСТРА́НСТВА-ВРЕ́МЕНИ, осн. геометрич. структура, которой наделяется пространство-время (пространство событий) в специальной и общей относительности теории. М. п.-в. определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем – метрического тензора.
В специальной теории относительности пространство событий является (плоским) четырёхмерным Минковского пространством-временем, метрич. тензор которого имеет вид: η_{μν}=diag(1, –1, –1, –1). Он задаёт квадрат интервала между двумя событиями, каждому из которых сопоставляется точка пространства-времени x^μ=(ct, x, y, z), где c – скорость света, x, y, z – пространств. координаты события, t – время, когда оно произошло. Квадрат интервала между двумя бесконечно близкими событиями, координаты которых отличаются на dx^μ, равен ds^2=η_{μν}dx^μdx^ν=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2. Эта величина положительна, если пространственное расстояние между точками меньше расстояния, на которое луч света распространяется за время dt; подобные события могут лежать на мировой линии частицы ненулевой массы, движущейся со скоростью, меньшей c. Соответствующий интервал называется времениподобным, он разделяет события, которые находятся в причинной связи. Отрицат. значение квадрата интервала характерно для событий, которые не связаны сигналом, распространяющимся со скоростью, меньшей или равной скорости света; он отвечает причинно несвязанным событиям; соответствующий интервал называется пространственноподобным. Нулевое значение интервала разделяет события, лежащие на фронте сферич. световой волны, испущенной из заданной точки в заданный момент времени (на световом конусе). Таким образом, М. п.-в. не является знакоопределённой. Возможен выбор метрики с противоположными знаками диагональных компонент; инвариантной величиной является сигнатура – разность между числом элементов противоположного знака (два). Метрич. тензор η_{μν} определяет также квадраты длин векторов в пространстве Минковского, которые тоже разделяются на времениподобные, пространственноподобные и светоподобные (изотропные).
В пространстве событий специальной теории относительности допустимы преобразования координат, не изменяющие метрику. Кроме пространственных сдвигов, поворотов осей координат и изменения начала отсчёта времени, они включают Лоренца преобразования, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Уравнения, записанные в виде соотношений между тензорами в пространстве Минковского, сохраняют свой вид при этих преобразованиях, что является математич. выражением относительности принципа Эйнштейна, согласно которому физич. законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
В общей теории относительности метрика искривлённого пространства-времени задаётся зависящим от координат ковариантным тензором 2-го ранга g_{μν}(x), таким, что в любой заданной точке (и вдоль любой кривой) его можно преобразованием координат привести к виду метрики Минковского. Такой тензор можно получить, напр., из метрики Минковского общим преобразованием координат, включающим переход к неинерциальным системам отсчёта. Согласно эквивалентности принципу, силы инерции локально неотличимы от гравитационных сил, поэтому зависящая от координат метрика может описывать и гравитац. поле. В общей теории относительности все уравнения записываются в форме, инвариантной относительно произвольных преобразований координат в пространстве-времени, поэтому необходимо различать случай неинерциальной системы отсчёта от случая присутствия гравитац. полей. При наличии гравитац. поля, порождаемого любой материей, пространство-время уже не плоское, а имеет кривизну, описываемую тензором кривизны, который в случае отсутствия гравитац. поля обращается в нуль. М. п.-в. определяется путём решения Эйнштейна уравнений, связывающих кривизну с распределением материи, её движением и состоянием, описываемыми тензором энергии-импульса.
В случае слабого гравитац. поля метрика g_{μν}(x) близка к метрике Минковского, поэтому можно положить g_{μν}(x)=η_{μν}+h_{μν}(x), где поправки h_{μν}(x) малы.