БО́ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

БО́ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, ста­ти­сти­че­ски рав­но­вес­ная фун­к­ция рас­пре­де­ле­ния $f(\boldsymbol p$, $\boldsymbol r)$ по им­пуль­сам $\boldsymbol p$ и ко­орди­на­там $\boldsymbol r$ час­тиц (ато­мов, мо­ле­кул) иде­аль­но­го га­за, ко­то­рые под­чи­ня­ют­ся клас­сич. ме­ха­ни­ке и на­хо­дят­ся во внеш­нем по­тен­ци­аль­ном по­ле: $$f(\boldsymbol p, \ \boldsymbol r)=A \ \text {exp} \left \{- \frac {\frac{p^2}{2m}+ U(\boldsymbol r)}{kT} \right \}, \qquad (1)$$ где $\frac{p^2}{2m}$  – ки­не­тич. энер­гия час­ти­цы с мас­сой $m$, $U(\boldsymbol r)$ – её по­тен­ци­аль­ная энер­гия во внеш­нем по­ле, $T$ – аб­со­лют­ная темп-pa га­за, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на. По­сто­ян­ная $A$ оп­ре­де­ля­ет­ся из ус­ло­вия ра­вен­ст­ва ин­те­гра­ла от $f(\boldsymbol p, \boldsymbol r)$ по всем $\boldsymbol p$ и $\boldsymbol r$ пол­но­му чис­лу час­тиц $N$ в сис­те­ме (ус­ло­вие нор­ми­ров­ки). Ча­ст­ным слу­ча­ем Б. р. при $U(\boldsymbol r) = 0$ яв­ля­ет­ся Мак­свел­ла рас­пре­де­ле­ние

час­тиц по ско­ро­стям.

Б. р. мо­жет быть по­лу­че­но из Гиб­бса рас­пре­де­ле­ния

для га­за, в ко­то­ром взаи­мо­дей­ст­ви­ем ме­ж­ду час­ти­ца­ми мож­но пре­неб­речь. По­сколь­ку час­ти­цы не взаи­мо­дей­ст­ву­ют ме­ж­ду со­бой, га­миль­то­ни­ан сис­те­мы мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы га­миль­то­ниа­нов отд. час­тиц и рас­смат­ри­вать рас­пре­де­ле­ние не в фа­зо­вом про­стран­ст­ве всех час­тиц, как в ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке Гиб­бса, а в фа­зо­вом про­стран­ст­ве ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов од­ной час­ти­цы.

Функ­цию рас­пре­де­ле­ния (1) ино­гда на­зы­ва­ют рас­пре­де­ле­ни­ем Мак­свел­ла – Больц­ма­на, а рас­пре­де­ле­ни­ем Больц­ма­на – функ­цию рас­пре­де­ле­ния (1), про­ин­тег­ри­ро­ван­ную по всем им­пуль­сам час­тиц (она ха­рак­те­ри­зу­ет плот­ность $n$ чис­ла час­тиц в точ­ке $\boldsymbol r$): $$n(\boldsymbol r) = n_0exp{–U(\boldsymbol r)/kT},$$

 

где $n_0$ – плот­ность чис­ла час­тиц, со­от­вет­ст­вую­щая точ­ке, в ко­то­рой $U(\boldsymbol r) = 0$. От­но­ше­ние плот­но­стей ($n_1$ и $n_2$) чис­ла час­тиц в разл. точ­ках ($r_1$ и $r_2$) за­ви­сит от раз­ности по­тен­ци­аль­ных энер­гий час­тиц в этих точ­ках: $$\frac {n_1}{n_2} = \text{exp} \left \{\frac {U(\boldsymbol r_1)-U(\boldsymbol r_2)}{kT} \right \}.$$ В ча­ст­ном слу­чае от­сю­да сле­ду­ет ба­ро­мет­ри­че­ская фор­му­ла

, оп­ре­де­ляю­щая рас­пре­де­ле­ние плот­но­сти чис­ла час­тиц в по­ле тя­же­сти над зем­ной по­верх­но­стью в за­ви­си­мо­сти от вы­со­ты $h$. В этом слу­чае $U(h)=mgh$, где $g$ – ус­ко­ре­ние си­лы тя­же­сти, $m$ – мас­са час­ти­цы.

Для иде­аль­ных кван­то­вых га­зов со­стоя­ния отд. час­тиц оп­ре­де­ля­ют­ся не им­пуль­са­ми и ко­ор­ди­на­та­ми, а кван­то­вы­ми уров­ня­ми энер­гии $ℰ_i$ час­ти­цы в по­ле $U(\boldsymbol r)$. В этом слу­чае Б. р. для ср. чи­сел за­пол­не­ния $i$-гo кван­то­во­го со­стоя­ния име­ет вид: $$n̅_i =\text{exp}[(μ-ℰ_i)/kT], \qquad (2)$$ где $μ$ – хи­мич. по­тен­ци­ал. Фор­му­ла (2) есть пре­дель­ный слу­чай Бо­зе – Эйн­штей­на рас­пре­де­ле­ния

и Фер­ми – Ди­ра­ка рас­пре­де­ле­ния

 >>

при та­ких темп-pax и плот­но­стях, ко­гда мож­но пре­неб­речь кван­то­вым вы­ро­ж­де­ни­ем га­за, но сле­ду­ет учи­ты­вать кван­то­ва­ние уров­ней энер­гии час­тиц.