БО́ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
БО́ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, статистически равновесная функция распределения $f(\boldsymbol p$, $\boldsymbol r)$ по импульсам $\boldsymbol p$ и координатам $\boldsymbol r$ частиц (атомов, молекул) идеального газа, которые подчиняются классич. механике и находятся во внешнем потенциальном поле: $$f(\boldsymbol p, \ \boldsymbol r)=A \ \text {exp} \left \{- \frac {\frac{p^2}{2m}+ U(\boldsymbol r)}{kT} \right \}, \qquad (1)$$ где $\frac{p^2}{2m}$ – кинетич. энергия частицы с массой $m$, $U(\boldsymbol r)$ – её потенциальная энергия во внешнем поле, $T$ – абсолютная темп-pa газа, $k$ – постоянная Больцмана. Постоянная $A$ определяется из условия равенства интеграла от $f(\boldsymbol p, \boldsymbol r)$ по всем $\boldsymbol p$ и $\boldsymbol r$ полному числу частиц $N$ в системе (условие нормировки). Частным случаем Б. р. при $U(\boldsymbol r) = 0$ является Максвелла распределение частиц по скоростям.
Б. р. может быть получено из Гиббса распределения для газа, в котором взаимодействием между частицами можно пренебречь. Поскольку частицы не взаимодействуют между собой, гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов отд. частиц и рассматривать распределение не в фазовом пространстве всех частиц, как в статистич. механике Гиббса, а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы.
Функцию распределения (1) иногда называют распределением Максвелла – Больцмана, а распределением Больцмана – функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц (она характеризует плотность $n$ числа частиц в точке $\boldsymbol r$): $$n(\boldsymbol r) = n_0exp{–U(\boldsymbol r)/kT},$$
где $n_0$ – плотность числа частиц, соответствующая точке, в которой $U(\boldsymbol r) = 0$. Отношение плотностей ($n_1$ и $n_2$) числа частиц в разл. точках ($r_1$ и $r_2$) зависит от разности потенциальных энергий частиц в этих точках: $$\frac {n_1}{n_2} = \text{exp} \left \{\frac {U(\boldsymbol r_1)-U(\boldsymbol r_2)}{kT} \right \}.$$ В частном случае отсюда следует барометрическая формула, определяющая распределение плотности числа частиц в поле тяжести над земной поверхностью в зависимости от высоты $h$. В этом случае $U(h)=mgh$, где $g$ – ускорение силы тяжести, $m$ – масса частицы.
Для идеальных квантовых газов состояния отд. частиц определяются не импульсами и координатами, а квантовыми уровнями энергии $ℰ_i$ частицы в поле $U(\boldsymbol r)$. В этом случае Б. р. для ср. чисел заполнения $i$-гo квантового состояния имеет вид:$$n̅_i =\text{exp}[(μ-ℰ_i)/kT], \qquad (2)$$ где $μ$ – химич. потенциал. Формула (2) есть предельный случай Бозе – Эйнштейна распределения и Ферми – Дирака распределения при таких темп-pax и плотностях, когда можно пренебречь квантовым вырождением газа, но следует учитывать квантование уровней энергии частиц.