ГИ́ББСА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГИ́ББСА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЯ, равновесные распределения вероятностей пребывания систем из большого числа частиц в состояниях, реализуемых в разл. физич. условиях. Г. р. – фундам. законы статистич. физики – установлены Дж. У. Гиббсом в 1901 и обобщены Дж. фон Нейманом в 1927 для квантовой статистич. механики.
Для получения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса: совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы в фиксированном макроскопич. состоянии, но в разл. микросостояниях, которые характеризуются совокупностями координат $q = (q_1, q_2, \ldots , q_N)$ и импульсов $p=(p_1,p_2,\ldots,p_N)$ всех $N$ частиц системы и соответствуют заданным макроскопич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазовом пространстве $(p, q)$. Г. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через функцию Гамильтона $H(p, q)$ и не зависят от времени, удовлетворяя уравнению Лиувилля в стационарной форме.
Совокупность энергетически изолированных от окружающей среды систем с энергией $\mathscr E$ при постоянном объёме $V$ с заданным числом частиц $N$ (микроканонический ансамбль Гиббса) описывается микроканоническим распределением Гиббса $f(p,q)$, согласно которому все состояния системы в узкой области энергий $(\Delta\mathscr E≪\mathscr E)$ вблизи $\mathscr E$ равновероятны (осн. гипотеза статистич. механики).
Совокупность систем в контакте с термостатом (канонический ансамбль Гиббса), т. е. систем с переменной энергией (фиксировано лишь её ср. значение) при заданных объёме $V$ и числе частиц $N$ и абсолютной темп-pе термостата $T$, описывается каноническим распределением Гиббса: $$f(p,q)=\exp \left\{ \frac{F-H(p,q)}{kT} \right \} ,$$ где $T$ – абсолютная темп-ра, $F$ – свободная энергия (Гельмгольца энергия), $k$ – постоянная Больцмана.
Распределение вероятностей для систем в термич. и материальном контакте с термостатом и резервуаром частиц (большой канонический ансамбль Гиббса), т. е. для систем с переменными числом частиц $N$ и энергией, определяемой функцией Гамильтона $H_N$, но с заданными темп-рой и химич. потенциалом $μ$, описывается большим каноническим распределением Гиббса: $$f_N(p,q)=\exp \left \{ \frac {\Omega - H_N(p,q) - μN}{kT} \right \},$$где $\Omega$ – термодинамич. потенциал в переменных $V, μ, T$, определяемый из условия нормировки вероятности.
Совокупность систем в термич. и механич. контакте с окружающей средой (изобарически-изотермический ансамбль Гиббса), т. е. с переменными энергией и объёмом, когда постоянным поддерживается давление $P$ с помощью, напр., подвижного поршня, описывается изобарно-изотермическим распределением Гиббса: $$f_V(p,q)=\exp \left \{ \frac {G - H(p,q) - PV}{kT} \right \},$$где $G$ – Гиббса энергия, т. е. термодинамич. потенциал в переменных $V, P, T$.
Г. р. в классич. статистич. механике являются предельными случаями Г. р. квантовой статистич. механики при таких плотностях и темп-pax, когда можно пренебречь квантовыми эффектами. Для квантовых систем Г. р. имеют такую же форму, как и для классических, но в них вместо $H(p,q)$ входит энергия $i$-гo квантового уровня системы.
Все Г. р. соответствуют максимуму информац. энтропии (см. Энтропия) при разл. дополнит. условиях: микроканонич. Г. р. – при постоянном числе частиц и энергии; канонич. Г. р. – при постоянном числе частиц и заданной ср. энергии; большое канонич. Г. р. – при заданных ср. энергии и ср. числе частиц. T. о., все Г. р. являются наиболее вероятными распределениями, но при разл. условиях.
Для вычисления термодинамич. потенциалов все Г. р. эквивалентны, т. е. если с помощью одного из Г. р. вычислить соответствующий ему термодинамич. потенциал, то затем при помощи термодинамич. соотношений можно найти и все др. термодинамич. потенциалы, соответствующие др. ансамблям.