ЯКО́БИ МНОГОЧЛЕ́НЫ

ЯКО́БИ МНОГОЧЛЕ́НЫ, мно­го­чле­ны, оп­ре­де­ляе­мые фор­му­лой$$P_n(x;α,β)=\frac{(-1)^n}{2^n n!}(1-x)^{-α}(1+x)^{-β}\frac{d^n}{dx^n}[(1-x)^{α+n}(1-x)^{β+n}].$$Я. м. – ор­то­го­наль­ные мно­го­чле­ны на от­рез­ке [–1, 1] от­но­си­тель­но ве­са $(1-x)^α(1+x)^β$. Ча­ст­ны­ми слу­чая­ми Я. м. яв­ля­ют­ся Ле­жан­д­ра мно­го­чле­ны (при $α=β=0$) и Че­бы­ше­ва мно­го­чле­ны пер­во­го ро­да (при $α=β=-1/2$) и вто­рого ро­да (при $α=β=1/2$). В свою очередь, Я. м. яв­ля­ют­ся ча­ст­ным слу­ча­ем ги­пер­гео­мет­ри­че­ской функ­ции. Я. м. удов­ле­тво­ря­ют диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию$$(1+x^2)y''+(β-α-(α+β+2)x)y' + n(α+β+n+1)y=0,$$где $y=P_n(x; α, β)$. Спра­вед­ли­ва фор­мула$$\int_{-1}^{1}(1-x)^α(1+x)^β[P_n(x;α,β)]^2dx=\\=\frac{2^{α+β+1}}{α+β+2n+1}\frac{Г(α+n+1)Г(β+n+1)}{n!Г(α+β+n+1)},$$где $Г$ – гам­ма-функ­ция.

Я. м. вве­де­ны К. Яко­би (1859).