ЯКО́БИ МНОГОЧЛЕ́НЫ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ЯКО́БИ МНОГОЧЛЕ́НЫ, многочлены, определяемые формулойP_n(x;α,β)=\frac{(-1)^n}{2^n n!}(1-x)^{-α}(1+x)^{-β}\frac{d^n}{dx^n}[(1-x)^{α+n}(1-x)^{β+n}].Я. м. – ортогональные многочлены на отрезке [–1, 1] относительно веса (1-x)^α(1+x)^β. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при α=β=0) и Чебышева многочлены первого рода (при α=β=-1/2) и второго рода (при α=β=1/2). В свою очередь, Я. м. являются частным случаем гипергеометрической функции. Я. м. удовлетворяют дифференциальному уравнению(1+x^2)y''+(β-α-(α+β+2)x)y' + n(α+β+n+1)y=0,где y=P_n(x; α, β). Справедлива формула\int_{-1}^{1}(1-x)^α(1+x)^β[P_n(x;α,β)]^2dx=\\=\frac{2^{α+β+1}}{α+β+2n+1}\frac{Г(α+n+1)Г(β+n+1)}{n!Г(α+β+n+1)},где Г – гамма-функция.
Я. м. введены К. Якоби (1859).