ГИПЕРГЕОМЕТРИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

ГИПЕРГЕОМЕТРИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, ана­ли­тич. функ­ция $F$, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ги­пер­гео­мет­рич. урав­не­ния $$z(1-z)F″+ (γ-(α+β+1)z)F′-αβF= 0,$$ где $α$, $β$, $γ$ – па­ра­мет­ры, ко­то­рые мо­гут при­ни­мать ком­плекс­ные зна­че­ния, $z$ – ком­плекс­ная пе­ре­мен­ная. Г. ф. мо­жет быть за­пи­са­на в ви­де ги­пер­гео­мет­рич. ря­да $$F(α, β, γ; z)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{α(α+1)\ldots(α+n-1)}{γ(γ+1)\ldots(γ+n-1)}β(β+1)\ldots(β+n-1) \frac{z^n}{n!},$$ко­то­рый ино­гда на­зы­ва­ют ря­дом Га­ус­са. Этот ряд схо­дит­ся при $|z|<1$, здесь пред­по­ла­га­ет­ся, что $γ$ не рав­но ну­лю или це­ло­му от­ри­ца­тель­но­му чис­лу. Ес­ли $\text {Re}\,γ>\text{Re}\,β>0$ и $| \arg (1-z) |<π$, то для Г. ф. спра­вед­ли­ва фор­му­ла Эй­ле­ра $$F(α, β, γ; z)=\frac{Γ(γ)}{Γ(β)Γ(γ-β)} \int_0^1t^{β-1}(1-t)^{γ-β-1}(1-tz)^{-α}dt,$$ где $Γ$ – гам­ма-функ­ция. Че­рез Г. ф. вы­ра­жа­ют­ся мн. эле­мен­тар­ные функ­ции, напр., $$(1+z)^n=F(-n, 1, 1; –z),\\ \ln(1+z)=zF(1, 1, 2; –z),\\ \text {arcsin}\,z=zF \left( {1\over 2},{1\over2},{3\over 2};z^2 \right),$$ и мн. спе­ци­аль­ные функ­ции.

Ги­пер­гео­мет­рич. ряд был впер­вые рас­смот­рен Л. Эй­ле­ром (1778). Тео­рия этих ря­дов бы­ла раз­ви­та К. Га­ус­сом (1812).

Лит.: Ле­бе­дев Н. Н. Спе­ци­аль­ные функ­ции и их при­ло­же­ния. 2-е изд. М., 1963.