ТРАНСФИНИ́ТНОЕ ЧИСЛО́

ТРАНСФИНИ́ТНОЕ ЧИСЛО́ (от транс... и лат. finitus – ог­ра­ни­чен­ный), обоб­ще­ние по­ня­тия по­ряд­ко­во­го чис­ла (см. ни­же). Оп­ре­де­ле­ние Т. ч. опи­ра­ет­ся на по­ня­тие впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва. Ка­ж­дое ко­неч­ное мно­же­ст­во мож­но сде­лать впол­не упо­ря­до­чен­ным, рас­по­ло­жив все его эле­мен­ты в оп­ре­де­лён­ном по­ряд­ке. Про­стей­шим при­ме­ром бес­ко­неч­но­го впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех на­ту­раль­ных чи­сел, рас­по­ло­жен­ных в по­ряд­ке воз­рас­та­ния; то же мно­же­ст­во, рас­по­ло­жен­ное в по­ряд­ке убы­ва­ния (так, что боль­шее счи­та­ет­ся пред­ше­ст­вую­щим мень­ше­му), уже не бу­дет впол­не упо­ря­до­чен­ным, т. к. ни од­но его бес­ко­неч­ное под­мно­же­ст­во не име­ет пер­во­го эле­мен­та. Два упо­ря­до­чен­ных под­мно­же­ст­ва X и Y на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми или имею­щи­ми один и тот же по­ряд­ко­вый тип, ес­ли ме­ж­ду их эле­мен­та­ми мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, со­хра­няю­щее по­ря­док эле­мен­тов. Все ко­неч­ные впол­не упо­ря­до­чен­ные мно­же­ст­ва, со­дер­жа­щие оди­на­ко­вое чис­ло эле­мен­тов, по­доб­ны ме­ж­ду со­бой. По­это­му по­ряд­ко­вые ти­пы ко­неч­ных впол­не упо­ря­до­чен­ных мно­жеств мож­но ото­жде­ст­вить с на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми, ко­то­рые по­яв­ля­ют­ся, та­ким об­ра­зом, как по­ряд­ко­вые чис­ла (то­гда как, ха­рак­те­ри­зуя ко­ли­че­ст­во эле­мен­тов мно­же­ст­ва, те же на­ту­раль­ные чис­ла вы­сту­па­ют в дру­гом сво­ём ас­пек­те – ко­ли­че­ст­вен­ных чи­сел).

Т. ч. на­зы­ва­ют­ся по­ряд­ко­вые ти­пы бес­ко­неч­ных впол­не упо­ря­до­чен­ных мно­жеств. Тем са­мым по­ня­тие Т. ч. пред­став­ля­ет со­бой рас­про­стра­не­ние по­ня­тия по­ряд­ко­во­го чис­ла на бес­ко­неч­ные мно­же­ст­ва. Ана­ло­гич­ное обоб­ще­ние ко­ли­че­ст­вен­но­го чис­ла при­во­дит к по­ня­тию мощ­но­сти мно­же­ст­ва. Т. к. не­рав­но­мощ­ные мно­же­ст­ва нель­зя по­ста­вить во вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, то впол­не упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вам разл. мощ­но­сти со­от­вет­ст­ву­ют раз­лич­ные Т. ч. Од­на­ко об­рат­ное (в от­ли­чие от ко­неч­ных мно­жеств) не­вер­но: бес­ко­неч­ные впол­не упо­ря­до­чен­ные мно­же­ст­ва мо­гут быть рав­но­мощ­ны­ми, не бу­ду­чи по­доб­ны­ми, и тем са­мым оп­ре­де­ляя раз­лич­ные транс­фи­нит­ные чис­ла.

Для Т. ч. мож­но вве­сти по­ня­тия «боль­ше» и «мень­ше». Имен­но Т. ч. α, по оп­ре­де­ле­нию, мень­ше Т. ч. β (α<β), ес­ли ка­кое-ли­бо (а зна­чит, и лю­бое) впол­не упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во ти­па α по­доб­но не­ко­то­ро­му от­рез­ку ка­ко­го-ни­будь (а сле­до­ва­тель­но, и лю­бо­го) мно­же­ст­ва ти­па β. При этом от­рез­ком впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва, от­се­чён­ным эле­мен­том x, на­зы­ва­ет­ся под­мно­же­ст­во его эле­мен­тов, пред­ше­ст­вую­щих x. Для лю­бых двух Т. ч. α и β все­гда ли­бо α<β, ли­бо α=β, ли­бо α>β.

В при­ме­не­нии Т. ч. к разл. во­про­сам ма­те­ма­ти­ки важ­ную роль иг­ра­ет прин­цип транс­фи­нит­ной ин­дук­ции, обоб­щаю­щий обыч­ный прин­цип ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции на про­из­воль­ные впол­не упо­рядо­чен­ные мно­же­ст­ва: ес­ли не­ко­то­рое пред­ло­же­ние вер­но для пер­во­го эле­мен­та впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва X и ес­ли из то­го, что оно вер­но для всех эле­мен­тов мно­же­ст­ва X, пред­ше­ст­вую­щих дан­но­му эле­мен­ту x из мно­же­ст­ва X, сле­ду­ет его спра­вед­ли­вость и для эле­мен­та x, то это пред­ло­же­ние вер­но для ка­ж­до­го эле­мен­та мно­же­ст­ва X.