УПОРЯ́ДОЧЕННОЕ МНО́ЖЕСТВО

УПОРЯ́ДОЧЕННОЕ МНО́ЖЕСТВО, мно­же­ст­во, на ко­то­ром за­да­но от­но­ше­ние по­ряд­ка (ли­ней­но­го или час­тич­но­го, стро­го­го или не­стро­го­го). При этом от­но­ше­ни­ем по­ряд­ка на мно­же­ст­ве A на­зы­ва­ет­ся би­нар­ное от­но­ше­ние (со­от­вет­ст­вие), обыч­но обо­зна­чае­мое сим­во­лом ⩽ и об­ла­даю­щее сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми: 1) a⩽a (реф­лек­сив­ность); 2) ес­ли a⩽b и b⩽c, то a⩽c (тран­зи­тив­ность); 3) ес­ли a⩽b и b⩽a, то a=b (ан­ти­сим­мет­рич­ность). Ес­ли ⩽ яв­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем по­ряд­ка, то от­но­ше­ние <, оп­ре­де­ляе­мое ус­ло­ви­ем a⩽b и a≠b, на­зы­ва­ет­ся стро­гим по­ряд­ком. За­пись a⩽b обыч­но чи­та­ет­ся как «a мень­ше или рав­но b» или «b боль­ше или рав­но a», а a<b – как «a мень­ше b» или «b боль­ше a» (ино­гда го­во­рят так­же «b сле­ду­ет за a» или «a пред­ше­ст­ву­ет b»).

По­ря­док на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным, ес­ли для лю­бых a,b∈A ли­бо a⩽b, ли­бо b⩽a. В этом слу­чае мно­же­ст­во на­зы­ва­ет­ся ли­ней­но упо­ря­до­чен­ным или це­пью. При­мер ли­ней­но упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва да­ёт дей­ст­ви­тель­ная пря­мая с ес­те­ст­вен­ным от­но­ше­ни­ем по­ряд­ка на ней.

Ес­ли же в A до­пус­ка­ют­ся и не­срав­ни­мые ме­ж­ду со­бой эле­мен­ты, то по­ря­док на­зы­ва­ет­ся час­тич­ным, а мно­же­ст­во – час­тич­но упо­ря­до­чен­ным. При­ме­ра­ми час­тич­но У. м. яв­ля­ют­ся мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных функ­ций на от­рез­ке, где f⩽g оз­на­ча­ет, что f(x)⩽g(x) для всех то­чек это­го от­рез­ка, и мно­же­ст­во всех под­мно­жеств дан­но­го мно­же­ст­ва, где A⩽B оз­на­ча­ет, что A со­дер­жит­ся в B.

Оп­ре­де­ле­ние час­тич­но У. м. впер­вые яв­но сфор­му­ли­ро­вал Ф. Ха­ус­дорф (1914), хо­тя вхо­дя­щие в оп­ре­де­ле­ние по­ряд­ка ак­сио­мы рас­смат­ри­ва­лись ещё Г. В. Лейб­ни­цем (1690).