ТЕ́НЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ТЕ́НЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, математич. дисциплина, изучающая тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц. Т. и. широко применяется в дифференциальной геометрии, в теории римановых пространств, теории относительности, электродинамике и др. областях науки.
Для описания мн. физич. явлений и геометрич. объектов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать разл. объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами – равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (напр., в физике – масса, температура и др.), описываются одним числом, не изменяющимся при переходе от одной системы координат к другой. Другие величины – векторные (сила, скорость и т. д.) описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по известному закону (см. Декартова система координат). Наряду со скалярными и векторными величинами во многих вопросах физики и геометрии встречаются величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой сложнее, чем для векторов (подробнее см. ниже). Одним из классич. примеров тензора является тензор инерции, задаваемый совокупностью чисел $J_{ij}$, $i$, $j=1, 2, 3$, где $J_{ii}$ – осевой момент инерции относительно оси $x_i$, а $J_{ij}$, $i≠j$, – центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевые моменты инерции $J_{ii}$ меняются, причём знание их величин в одной системе координат не позволяет найти их в др. системе координат. Поэтому $J_{ii}$ не могут рассматриваться как физич. величины, имеющие независимый от выбора системы координат смысл. В то же время совокупность всех чисел $J_{ij}$ имеет смысл, независимый от выбора системы координат, т. к. знание всех чисел $J_{ij}$ в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой др. системе прямоугольных координат по формуле$$J'_{kl}=α_k^r α_l^s J_{rs},$$где $‖α_kr‖$ – матрица перехода от одной системы координат к другой; здесь, как принято в Т. и., опущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается дважды (один раз внизу, а другой наверху), то по нему производится суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения (в приведённом примере – значения 1, 2, 3).
Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве заданы два базиса $\{e_i\}$ и $\{e_if\}$, $i=1,2,3$, причём $e′_j=A_j^ie_i$, $e_i=B′_i^je_j$; $r$ раз ковариантным и $s$ раз контравариантным тензором называется зависящая от базиса совокупность $t$, состоящая из чисел $t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}$ преобразующихся при изменении базиса по формулам $$t′_{m_1...m_s}^{k_1...k_r}=A_{m_1}^{j_1}...A_{m_s}^{j_s}B_{i_1}^{k_1}...B_{i_r}^{k_s}t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}.$$ Число $r+s$ называется валентностью тензора. При $s=0$ тензор $t$ называется ковариантным, при $r=0$ – контравариантным, при $r > 0$, $s > 0$ – смешанным. Числа $t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}$ называются компонентами (координатами) тензора $t$ в данном базисе. Рассматриваются также тензоры нулевой валентности (скаляры или инварианты), которые в любом базисе имеют единственную компоненту, не зависящую от базиса. Дословно также определяются тензоры в $n$-мерном векторном пространстве над произвольным полем.
Суммой двух тензоров $t^{ab}_{cde}$ и $q^{ab}_{cde}$ одинакового строения (т. е. имеющих одинаковое число верхних и нижних индексов) называется тензор с координатами $$r_{cde}^{ab}=t^{ab}_{cde}+q^{ab}_{cde}.$$Произведением двух тензоров $q^{ab}_{cde}$ и $q^{de}_{fhg}$ (быть может, разного строения) называется тензор с координатами $$r^{ade}_{bcfgh}=q^{ab}_{cde}q^{de}_{fhg}.$$ Рассматриваются и др. операции над тензорами. Напр., результатом сворачивания тензора по индексам $a$ и $b$ (верхнему и нижнему) называется тензор $t^{b}_{ce}=t^{ib}_{cie}$ компоненты которого суть (здесь производится суммирование по индексу $i$).
Тензорным полем ($r$ раз ковариантным и $s$ раз контравариантным) в области $U$ трёхмерного пространства называется соответствие, сопоставляющее каждой точке $x∈U$ тензор $t(x)$ ($r$ раз ковариантный и $s$ раз контравариантный). Тензорное поле задаётся набором функций $t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}(x)$ на которые налагаются те или иные условия гладкости. Напр., рассматриваются скалярные поля ($r=s=0$), векторные поля ($r=0$, $s=1$), т. н. пфаффовы формы ($r=1$, $s=0$). Тензор инерции, рассматриваемый во всех точках тела, даёт пример тензорного поля валентности 2. Частные производные $\frac{d}{dx^{i_r+1}}t_{j_1...j_s}^{i_1...i_r}$ компонент тензорного поля являются компонентами $r+1$ раз ковариантного и $s$ раз контравариантного тензорного поля. Напр., при дифференцировании скалярного поля $f$ получается пфаффова форма $df$ с компонентами $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ (дифференциал функции $f$). В декартовых координатах эту форму можно рассматривать как векторное поле $\text{grad}\,f$, называемое градиентом функции $f$.
В тензорном анализе рассматриваются тензорные поля на произвольных дифференцируемых многообразиях и дифференциальные операторы, действующие на таких полях.
Возникновение Т. и. было подготовлено в 19 в. развитием теории алгебраич. форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм – с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерных метрич. пространств (Б. Риман). Совр. форму Т. и. придали итал. математики Г. Риччи-Кубастро и Т. Леви-Чивита (1901), поэтому Т. и. иногда называют исчислением Риччи. Идеи Риччи-Кубастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления общей теории относительности, математич. часть которой целиком основана на тензорном исчислении.