ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, в которой положение точки может быть определено как её проекции на фиксированные прямые, пересекающиеся в одной точке, называемой началом координат. Эти проекции называются координатами точки, а прямые – осями координат.
В общем случае на плоскости Д. с. к. (аффинная система координат) задаётся точкой $O$ (началом координат) и упорядоченной парой приложенных к ней не лежащих на одной прямой векторов $e_1$ и $e_2$ (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат данной Д. с. к. Первая, определяемая вектором $e_1$, называется осью абсцисс (или осью $Ox$), вторая – осью ординат (или осью $Oy$). Сама Д. с. к. обозначается $Oe_1e_2$ или $Oxy$. Декартовыми координатами точки $M$ (рис. 1) в Д. с. к. $Oe_1e_2$ называется упорядоченная пара чисел ($x$, $y$), которые являются коэффициентами разложения вектора $\overrightarrow {OM}$ по базису $\{e_1,e_2\}$, т. е. $x$ и $y$ таковы, что $\overrightarrow{OM}=xe_1+ye_2$. Число $x$, $- \infty \lt x \lt \infty$, называется абсциссой, число $y$, $- \infty \lt y \lt \infty$, – ординатой точки $M$. Если ($x$, $y$) – координаты точки $M$, то пишут $M$($x$, $y$).
Если на плоскости введены две Д. с. к. $Oe_1e_2$ и $O'e'_1e'_2$ так, что векторы базиса $\{e'_1,e'_2\}$ выражены через векторы базиса $\{e_1,e_2\}$ формулами $$e'_1=a_{11}e_1+a_{12}e_2,\quad e'_2=a_{21}e_1+a_{22}e_2$$ и точка $O'$ имеет в Д. с. к. $Oe_1e_2$ координаты $(x_0,y_0)$, то координаты $(x,y)$ точки $M$ в Д. с. к. $Oe_1e_2$ и координаты $(x',y')$ той же точки в Д. с. к. $O'e'_1e'_2$ связаны соотношениями $$x=a_{11}x'+a_{21}y'+x_0,\quad y=a_{12}x'+a_{22}y'+y_0.$$
Д. с. к. называют прямоугольной, если базис $\{e_1,e_2\}$ ортонормированный, т. е. векторы $e_1$ и $e_2$ взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные единице (векторы $e_1$ и $e_2$ называют в этом случае ортами). В прямоугольной Д. с. к. координаты $x$ и $y$ точки $M$ суть величины ортогональных проекций точки $M$ на оси $Ox$ и $Oy$ соответственно. В прямоугольной Д. с. к. $Oxy$ расстояние между точками $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ равно $\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$.
Формулы перехода от одной прямоугольной Д. с. к. $Oxy$ к другой прямоугольной Д. с. к. $O'x'y'$, начало которой $O'$ Д. с. к. $Oxy$ есть $O'(x_0,y_0)$, имеют вид $$x=x'\cos \alpha-y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha+y'\cos \alpha+y_0$$ или $$x=x'\cos \alpha+y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha-y'\cos \alpha+y_0.$$
В первом случае система $O'x'y'$образуется поворотом базисных векторов $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$ и последующим переносом начала координат $O$ в точку $O'$ (рис. 2), а во втором случае – поворотом базисных векторов $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$, последующим отражением оси, содержащей вектор $e_2$ относительно прямой, несущей вектор $e_1$, и переносом начала координат $O$ в точку $O'$ (рис. 3).
Иногда используются косоугольные Д. с. к., отличающиеся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не является прямым.
Аналогично определяется общая Д. с. к. (аффинная система координат) в пространстве: задаётся точка $O$ – начало координат и упорядоченная тройка приложенных к ней не лежащих в одной плоскости векторов $e_1$, $e_2$, $e_3$ (базисных векторов). Как и в случае плоскости, определяются оси координат – ось абсцисс (ось $Ox$), ось ординат (ось $Oy$) и ось аппликат (ось $Oz$) (рис. 4). Д. с. к. в пространстве обозначается $Oe_1e_2e_3$ (или $Oxyz$). Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями. Д. с. к. в пространстве называется правой, если поворот от оси $Ox$ к оси $Oy$ совершается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость $Oxy$ из к.-н. точки положительной полуоси $Oz$, в противоположном случае Д. с. к. называется левой. Если базисные векторы $e_1$, $e_2$, $e_3$ имеют длины, равные единице, и попарно перпендикулярны, то Д. с. к. называется прямоугольной. Положение одной прямоугольной Д. с. к. в пространстве относительно другой прямоугольной Д. с. к. с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.
Д. с. к. названа по имени Р. Декарта, хотя в его соч. «Геометрия» (1637) рассматривалась косоугольная система координат, в которой координаты точек могли быть только положительными. В издании 1659–61 к «Геометрии» приложена работа голл. математика И. Гудде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат. Пространственную Д. с. к. ввёл франц. математик Ф. Лаир (1679). В нач. 18 в. установились обозначения $x$, $y$, $z$ для декартовых координат.
