Дека́ртова систе́ма координа́т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, в которой положение точки может быть определено как её проекции на фиксированные прямые, пересекающиеся в одной точке, называемой началом координат. Эти проекции называются координатами точки, а прямые – осями координат.

В общем случае на плоскости декартова система координат (аффинная система координат) задаётся точкой $O$ (началом координат) и упорядоченной парой приложенных к ней не лежащих на одной прямой векторов $\overrightarrow e_1$ и $\overrightarrow e_2$ (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат данной декартовой системы координат. Первая, определяемая вектором $\overrightarrow e_1$, называется осью абсцисс (или осью $Ox$), вторая – осью ординат (или осью $Oy$). Сама декартова система координат обозначается $O\overrightarrow e_1\overrightarrow e_2$ или $Oxy$. Декартовыми координатами точки $M$ (рис. 1)Рис. 1. Декартова система координат на плоскости.Рис. 1. Декартова система координат на плоскости. в декартовой системе координат $O\overrightarrow e_1\overrightarrow e_2$ называется упорядоченная пара чисел$(x, y)$, которые являются коэффициентами разложения вектора $\overrightarrow {OM}$ по базису $\{\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2\}$, т. е. $x$ и $y$ таковы, что $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2$. Число $x$, $- \infty \lt x \lt \infty$, называется абсциссой, число $y$, $- \infty \lt y \lt \infty$, – ординатой точки $M$. Если $(x, y)$ – координаты точки $M$, то пишут $M(x, y)$.

Если на плоскости введены две декартовы системы координат $O\overrightarrow e_1\overrightarrow e_2$ и $O'\overrightarrow e'_1\overrightarrow e'_2$ так, что векторы базиса $\{\overrightarrow e'_1,\overrightarrow e'_2\}$ выражены через векторы базиса $\{\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2\}$ формулами $$\overrightarrow e'_1=a_{11}\overrightarrow e_1+a_{12}\overrightarrow e_2,\quad \overrightarrow e'_2=a_{21}\overrightarrow e_1+a_{22}\overrightarrow e_2$$ и точка $O'$ имеет в декартовой системе координат $O\overrightarrow e_1\overrightarrow e_2$ координаты $(x_0,y_0)$, то координаты $(x,y)$ точки $M$ в декартовой системе координат $O\overrightarrow e_1\overrightarrow e_2$ и координаты $(x',y')$ той же точки в декартовой системе координат $O'\overrightarrow e'_1\overrightarrow e'_2$ связаны соотношениями $$x=a_{11}x'+a_{21}y'+x_0,\quad y=a_{12}x'+a_{22}y'+y_0.$$Декартову систему координат называют прямоугольной, если базис $\{\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2\}$ ортонормированный, т. е. векторы $\overrightarrow e_1$ и $\overrightarrow e_2$ взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные единице (векторы $\overrightarrow e_1$ и $\overrightarrow e_2$ называют в этом случае ортами). В прямоугольной декартовой системе координат координаты $x$ и $y$ точки $M$ суть величины ортогональных проекций точки $M$ на оси $Ox$ и $Oy$ соответственно. В прямоугольной декартовой системе координат $Oxy$ расстояние между точками $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ равно $\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат $Oxy$ к другой прямоугольной декартовой системе координат $O'x'y'$, начало которой $O'(x_0,y_0)$, имеют вид $$x=x'\cos \alpha-y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha+y'\cos \alpha+y_0$$ или $$x=x'\cos \alpha+y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha-y'\cos \alpha+y_0.$$В первом случае система $O'x'y'$ образуется поворотом базисных векторов $\overrightarrow e_1, \overrightarrow e_2$ на угол $\alpha$ и последующим переносом начала координат $O$ в точку $O'$ (рис. 2),Рис. 2. Переход от одной декартовой системы координат к другой по­во­ро­том ба­зис­ных векторов на угол α и по­сле­дую­щим переносом на­ча­ла ко­ор­ди­нат O в точ­ку O′.Рис. 2. Переход от одной декартовой системы координат к другой по­во­ро­том ба­зис­ных векторов на угол α и по­сле­дую­щим переносом на­ча­ла ко­ор­ди­нат O в точ­ку O′. а во втором случае – поворотом базисных векторов $\overrightarrow e_1, \overrightarrow e_2$ на угол $\alpha$, последующим отражением оси, содержащей вектор $\overrightarrow e_2$ относительно прямой, несущей вектор $\overrightarrow e_1$, и переносом начала координат $O$ в точку $O'$ (рис. 3).

Рис. 3. Переход от одной декартовой системы координат к другой по­во­ро­том ба­зис­ных векторов на угол α, по­сле­дую­щим отражением и пе­ре­но­сом на­ча­ла координат O в точ­ку O′.Рис. 3. Переход от одной декартовой системы координат к другой по­во­ро­том ба­зис­ных векторов на угол α, по­сле­дую­щим отражением и пе­ре­но­сом на­ча­ла координат O в точ­ку O′.Иногда используются косоугольные декартовы системы координат, отличающиеся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не является прямым.

Аналогично определяется общая декартова система координат (аффинная система координат) в пространстве: задаётся точка $O$ – начало координат и упорядоченная тройка приложенных к ней не лежащих в одной плоскости векторов $\overrightarrow e_1, \overrightarrow e_2, \overrightarrow e_3$ (базисных векторов). Как и в случае плоскости, определяются оси координат – ось абсцисс (ось $Ox$), ось ординат (ось $Oy$) и ось аппликат (ось $Oz$) (рис. 4).

Рис. 4. Декартова система координат в трёхмерном пространстве.Рис. 4. Декартова система координат в трёхмерном пространстве.Декартова система координат в пространстве обозначается $O\overrightarrow e_1\overrightarrow e_2\overrightarrow e_3$ (или $Oxyz$). Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями. Декартова система координат в пространстве называется правой, если поворот от оси $Ox$ к оси $Oy$ совершается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость $Oxy$ из какой-нибудь точки положительной полуоси $Oz$; в противоположном случае декартова система координат называется левой. Если базисные векторы $\overrightarrow e_1, \overrightarrow e_2, \overrightarrow e_3$ имеют длины, равные единице, и попарно перпендикулярны, то декартова система координат называется прямоугольной. Положение одной прямоугольной декартовой системы координат в пространстве относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.

Декартова система координат названа по имени Р. Декарта, хотя в его сочинении «Геометрия» (1637) рассматривалась косоугольная система координат, в которой координаты точек могли быть только положительными. В издании 1659–1661 гг. к «Геометрии» приложена работа голландского математика И. Худде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат. Пространственную декартову систему координат ввёл французский математик Ф. де Лаир (1679). В начале 18 в. установились обозначения $x, y, z$ для декартовых координат.