СТАТИСТИ́ЧЕСКИХ ГИПО́ТЕЗ ПРОВЕ́РКА

СТАТИСТИ́ЧЕСКИХ ГИПО́ТЕЗ ПРОВЕ́Р­КА, один из ос­нов­ных раз­де­лов ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки, объ­е­ди­няю­щий ме­то­ды про­вер­ки со­от­вет­ст­вия ста­ти­стич. дан­ных не­ко­то­рой ста­ти­стич. ги­по­те­зе о ве­ро­ят­но­ст­ной при­ро­де дан­ных. Про­це­ду­ры С. г. п. по­зво­ля­ют при­ни­мать или от­вер­гать ста­ти­сти­че­ские ги­по­те­зы

, воз­ни­каю­щие при об­ра­бот­ке или ин­тер­пре­та­ции ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний во мно­гих прак­ти­че­ски важ­ных раз­де­лах нау­ки и про­из­вод­ст­ва, свя­зан­ных со слу­чай­но­стью. Пра­ви­ло, в со­от­вет­ст­вии с ко­то­рым при­ни­ма­ет­ся или от­кло­ня­ет­ся дан­ная ги­по­те­за, на­зы­ва­ет­ся ста­ти­стич. кри­те­ри­ем. По­строе­ние кри­те­рия оп­ре­де­ля­ет­ся вы­бо­ром под­хо­дя­щей функ­ции $T=T(X_1, ..., Xn)$ от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний $X_1, ..., X_n$, ко­то­рая слу­жит ме­рой рас­хо­ж­де­ния ме­ж­ду фак­тич. и ги­по­те­тич. зна­че­ния­ми. Эта функ­ция, яв­ляю­щая­ся слу­чай­ной ве­ли­чи­ной, на­зы­ва­ет­ся ста­ти­сти­кой кри­те­рия, при этом пред­по­ла­га­ет­ся, что рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей $T$ мо­жет быть вы­чис­ле­но при до­пу­ще­нии, что про­ве­ряе­мая ги­по­те­за вер­на и что рас­пре­де­ле­ние $T$ не за­ви­сит от ха­рак­те­ри­стик ги­по­те­тич. рас­пре­де­ле­ния. По рас­пре­де­ле­нию ста­ти­сти­ки $T$ на­хо­дит­ся кри­тич. зна­че­ние $T_0$ та­кое, что ве­ро­ят­ность не­ра­вен­ст­ва $T > T_0$ рав­на $α$, где $α$ – за­ра­нее за­дан­ный уро­вень зна­чи­мо­сти [об­ласть зна­че­ний $(x_1, ..., x_n)$, для ко­то­рых $T(x_1, ..., x_n) > T_0$, т. е. об­ласть от­кло­не­ния ги­по­те­зы $H_0$, на­зы­ваемая кри­тич. об­ла­стью]. Ес­ли в кон­крет­ном слу­чае об­на­ру­жит­ся, что $T > T_0$, то счи­та­ет­ся, что рас­хо­ж­де­ние зна­чи­мо и ги­по­те­за от­вер­га­ет­ся, то­гда как по­яв­ле­ние зна­че­ния $T ⩽ T_0$ не про­ти­во­ре­чит ги­по­те­зе. Та­ко­го ро­да кри­те­рии, на­зы­вае­мые кри­те­рия­ми зна­чи­мо­сти, ис­поль­зу­ют­ся для про­вер­ки как ги­по­тез о па­ра­мет­рах рас­пре­де­ле­ния, так и ги­по­тез о са­мих рас­пре­де­ле­ни­ях. В ча­ст­ном слу­чае, ко­гда про­ве­ря­ет­ся со­гла­сие ме­ж­ду вы­бо­роч­ным и ги­по­те­тич. рас­пре­де­ле­ни­ем, поль­зу­ют­ся тер­ми­ном кри­те­рий со­гла­сия.

Пусть, напр., про­ве­ря­ет­ся ги­по­те­за о том, что не­за­ви­си­мые на­блю­де­ния $X_1, ..., X_n$ име­ют нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние со сред­ним зна­че­ни­ем $a=a_0$ при из­вест­ной дис­пер­сии $σ^2$. В этом слу­чае сред­нее ариф­ме­ти­че­ское $\overline X =(X_1,...,X_n)/n$ ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний рас­пре­де­ле­но нор­маль­но с ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем $a=a_0$ и дис­пер­си­ей $σ^2/n$, а ве­ли­чи­на $$\sqrt{n}\frac{\overline X - a_0}{σ}$$ име­ет стан­дарт­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние

. По­ла­гая $$T=\sqrt{n}\frac{\left|\overline X - a_0\right|}{σ},$$ мож­но най­ти связь ме­ж­ду $T_0$ и $α$, ска­жем, по таб­ли­цам нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния (ве­ли­чи­на $T_0$ яв­ля­ет­ся кван­ти­лью

 >>

по­ряд­ка $1-α/2$ или, что то же са­мое, аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ной кван­ти­ли по­ряд­ка $α/2$ стан­дарт­но­го нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния). Напр., при ги­по­те­зе $a=a_0$ со­бы­тие $T > 1,96$ име­ет ве­ро­ят­ность $0,05$. Пра­ви­ло, в со­от­вет­ст­вии с ко­то­рым ги­по­те­за $a=a_0$ объ­яв­ля­ет­ся не­вер­ной при $T > 1,96$, бу­дет при­во­дить к от­бра­сы­ва­нию этой ги­по­те­зы в сред­нем в 5 слу­ча­ях из 100, в ко­то­рых она вер­на. Ес­ли же $T ⩽ 1,96$, то это ещё не оз­на­ча­ет, что ги­по­те­за под­твер­жда­ет­ся, т. к. ука­зан­ное не­ра­вен­ст­во с боль­шой ве­ро­ят­но­стью мо­жет вы­пол­нять­ся при $a$, близ­ких к $a_0$. Та­ким об­ра­зом, при ис­поль­зо­ва­нии пред­ло­жен­но­го кри­те­рия мож­но лишь ут­вер­ждать, что ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний не про­ти­во­ре­чат ги­по­те­зе $a=a_0$.

Ес­ли дис­пер­сия $σ^2$ не­из­вест­на, то для про­вер­ки ги­по­те­зы $a=a_0$ вме­сто при­ве­дён­но­го вы­ше кри­те­рия мож­но поль­зо­вать­ся кри­те­ри­ем Стью­ден­та, ос­но­ван­ным на ве­ли­чи­не $$\sqrt{n}\frac{\overline X - a_0}{s},$$ ко­то­рая вклю­ча­ет не­сме­щён­ную оцен­ку дис­пер­сии $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(X_k-\overline X)^2$$ и име­ет Стью­ден­та рас­пре­де­ле­ние

с $n-1$ сте­пе­нью сво­бо­ды. По­ла­гая $$T=\sqrt{n}\frac{\overline X - a_0}{s},$$ мож­но най­ти связь ме­ж­ду $T_0$ и $α$ по таб­ли­цам рас­пре­де­ле­ния Стью­ден­та.

При ре­ше­нии во­про­са о при­ня­тии или от­кло­не­нии к.-л. ги­по­те­зы H0 с по­мо­щью лю­бо­го кри­те­рия, ос­но­ван­но­го на ре­зуль­та­тах на­блю­де­ния, мо­гут быть до­пу­ще­ны ошиб­ки двух ти­пов. Ошиб­ка «пер­во­го ро­да» со­вер­ша­ет­ся то­гда, ко­гда от­вер­га­ет­ся вер­ная ги­по­те­за H0. Ошиб­ка «вто­ро­го ро­да» со­вер­ша­ет­ся в том слу­чае, ко­гда ги­по­те­за H0 при­ни­ма­ет­ся, а на са­мом де­ле вер­на не она, а к.-л. аль­тер­на­тив­ная ги­по­те­за $H_1$. Ес­те­ст­вен­но тре­бо­вать, что­бы кри­те­рий для про­вер­ки дан­ной ги­по­те­зы при­во­дил воз­мож­но ре­же к оши­боч­ным ре­ше­ни­ям. Обыч­ная про­це­ду­ра по­строе­ния наи­луч­ше­го кри­те­рия для про­вер­ки про­стой ста­ти­стич. ги­по­те­зы за­клю­ча­ет­ся в вы­бо­ре сре­ди всех кри­те­ри­ев с за­дан­ным уров­нем зна­чи­мо­сти α (ве­ро­ят­ность ошиб­ки 1-го ро­да) та­ко­го, ко­то­рый имел бы наи­мень­шую ве­ро­ят­ность ошиб­ки 2-го ро­да или, что то же са­мое, наи­боль­шую ве­ро­ят­ность от­кло­не­ния ги­по­те­зы, ко­гда она не­вер­на. По­след­няя ве­ро­ят­ность (раз­ность ме­ж­ду еди­ни­цей и ошиб­кой 2-го ро­да) на­зы­ва­ет­ся мощ­но­стью ста­ти­стич. кри­те­рия. В слу­чае, ко­гда аль­тер­на­тив­ная ги­по­те­за $H_1$ про­стая, наи­луч­шим бу­дет кри­те­рий, ко­то­рый име­ет наи­боль­шую мощ­ность сре­ди всех др. кри­те­ри­ев с за­дан­ным уров­нем зна­чи­мо­сти $α$. Ес­ли аль­тер­на­тив­ная ги­по­те­за $H_1$ слож­ная, напр. за­ви­сит от па­ра­мет­ра, то мощ­ность кри­те­рия бу­дет функ­ци­ей, оп­ре­де­лён­ной на клас­се про­стых аль­тер­на­тив­ных ги­по­тез, со­став­ляю­щих $H_1$, т. е. бу­дет функ­ци­ей па­ра­мет­ра. Кри­те­рий, имею­щий наи­боль­шую мощ­ность при ка­ж­дой аль­тер­на­тив­ной ги­по­те­зе из $H_1$, на­зы­ва­ет­ся рав­но­мер­но наи­бо­лее мощ­ным ста­ти­стич. кри­те­ри­ем, од­на­ко сле­ду­ет от­ме­тить, что та­кие кри­те­рии су­ще­ст­ву­ют лишь в не­мно­гих спец. си­туа­ци­ях. В за­да­че о про­вер­ке про­стой ги­по­те­зы $a=a_0$ о сред­нем зна­че­нии нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния про­тив слож­ной аль­тер­на­тив­ной ги­по­те­зы $a > a_0$ рав­но­мер­но наи­бо­лее мощ­ной кри­те­рий су­ще­ст­ву­ет, то­гда как при про­вер­ке той же ги­по­те­зы про­тив слож­ной аль­тер­на­ти­вы $a≠a_0$ его нет. По­это­му час­то ог­ра­ни­чи­ва­ют­ся по­ис­ком рав­но­мер­но наи­бо­лее мощ­ных кри­те­ри­ев в тех или иных спец. клас­сах.

Важ­ную роль в тео­рии С. г. п. иг­ра­ют идеи, свя­зан­ные с по­сле­до­ва­тель­ным ана­ли­зом

.