СТАТИСТИ́ЧЕСКИХ ГИПО́ТЕЗ ПРОВЕ́РКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СТАТИСТИ́ЧЕСКИХ ГИПО́ТЕЗ ПРОВЕ́РКА, один из основных разделов математической статистики, объединяющий методы проверки соответствия статистич. данных некоторой статистич. гипотезе о вероятностной природе данных. Процедуры С. г. п. позволяют принимать или отвергать статистические гипотезы, возникающие при обработке или интерпретации результатов наблюдений во многих практически важных разделах науки и производства, связанных со случайностью. Правило, в соответствии с которым принимается или отклоняется данная гипотеза, называется статистич. критерием. Построение критерия определяется выбором подходящей функции $T=T(X_1, ..., Xn)$ от результатов наблюдений $X_1, ..., X_n$, которая служит мерой расхождения между фактич. и гипотетич. значениями. Эта функция, являющаяся случайной величиной, называется статистикой критерия, при этом предполагается, что распределение вероятностей $T$ может быть вычислено при допущении, что проверяемая гипотеза верна и что распределение $T$ не зависит от характеристик гипотетич. распределения. По распределению статистики $T$ находится критич. значение $T_0$ такое, что вероятность неравенства $T > T_0$ равна $α$, где $α$ – заранее заданный уровень значимости [область значений $(x_1, ..., x_n)$, для которых $T(x_1, ..., x_n) > T_0$, т. е. область отклонения гипотезы $H_0$, называемая критич. областью]. Если в конкретном случае обнаружится, что $T > T_0$, то считается, что расхождение значимо и гипотеза отвергается, тогда как появление значения $T ⩽ T_0$ не противоречит гипотезе. Такого рода критерии, называемые критериями значимости, используются для проверки как гипотез о параметрах распределения, так и гипотез о самих распределениях. В частном случае, когда проверяется согласие между выборочным и гипотетич. распределением, пользуются термином критерий согласия.
Пусть, напр., проверяется гипотеза о том, что независимые наблюдения $X_1, ..., X_n$ имеют нормальное распределение со средним значением $a=a_0$ при известной дисперсии $σ^2$. В этом случае среднее арифметическое $\overline X =(X_1,...,X_n)/n$ результатов наблюдений распределено нормально с математич. ожиданием $a=a_0$ и дисперсией $σ^2/n$, а величина$$\sqrt{n}\frac{\overline X - a_0}{σ}$$имеет стандартное нормальное распределение. Полагая $$T=\sqrt{n}\frac{\left|\overline X - a_0\right|}{σ},$$ можно найти связь между $T_0$ и $α$, скажем, по таблицам нормального распределения (величина $T_0$ является квантилью порядка $1-α/2$ или, что то же самое, абсолютной величиной квантили порядка $α/2$ стандартного нормального распределения). Напр., при гипотезе $a=a_0$ событие $T > 1,96$ имеет вероятность $0,05$. Правило, в соответствии с которым гипотеза $a=a_0$ объявляется неверной при $T > 1,96$, будет приводить к отбрасыванию этой гипотезы в среднем в 5 случаях из 100, в которых она верна. Если же $T ⩽ 1,96$, то это ещё не означает, что гипотеза подтверждается, т. к. указанное неравенство с большой вероятностью может выполняться при $a$, близких к $a_0$. Таким образом, при использовании предложенного критерия можно лишь утверждать, что результаты наблюдений не противоречат гипотезе $a=a_0$.
Если дисперсия $σ^2$ неизвестна, то для проверки гипотезы $a=a_0$ вместо приведённого выше критерия можно пользоваться критерием Стьюдента, основанным на величине $$\sqrt{n}\frac{\overline X - a_0}{s},$$которая включает несмещённую оценку дисперсии$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(X_k-\overline X)^2$$и имеет Стьюдента распределение с $n-1$ степенью свободы. Полагая $$T=\sqrt{n}\frac{\overline X - a_0}{s},$$ можно найти связь между $T_0$ и $α$ по таблицам распределения Стьюдента.
При решении вопроса о принятии или отклонении к.-л. гипотезы H0 с помощью любого критерия, основанного на результатах наблюдения, могут быть допущены ошибки двух типов. Ошибка «первого рода» совершается тогда, когда отвергается верная гипотеза H0. Ошибка «второго рода» совершается в том случае, когда гипотеза H0 принимается, а на самом деле верна не она, а к.-л. альтернативная гипотеза $H_1$. Естественно требовать, чтобы критерий для проверки данной гипотезы приводил возможно реже к ошибочным решениям. Обычная процедура построения наилучшего критерия для проверки простой статистич. гипотезы заключается в выборе среди всех критериев с заданным уровнем значимости α (вероятность ошибки 1-го рода) такого, который имел бы наименьшую вероятность ошибки 2-го рода или, что то же самое, наибольшую вероятность отклонения гипотезы, когда она неверна. Последняя вероятность (разность между единицей и ошибкой 2-го рода) называется мощностью статистич. критерия. В случае, когда альтернативная гипотеза $H_1$ простая, наилучшим будет критерий, который имеет наибольшую мощность среди всех др. критериев с заданным уровнем значимости $α$. Если альтернативная гипотеза $H_1$ сложная, напр. зависит от параметра, то мощность критерия будет функцией, определённой на классе простых альтернативных гипотез, составляющих $H_1$, т. е. будет функцией параметра. Критерий, имеющий наибольшую мощность при каждой альтернативной гипотезе из $H_1$, называется равномерно наиболее мощным статистич. критерием, однако следует отметить, что такие критерии существуют лишь в немногих спец. ситуациях. В задаче о проверке простой гипотезы $a=a_0$ о среднем значении нормального распределения против сложной альтернативной гипотезы $a > a_0$ равномерно наиболее мощной критерий существует, тогда как при проверке той же гипотезы против сложной альтернативы $a≠a_0$ его нет. Поэтому часто ограничиваются поиском равномерно наиболее мощных критериев в тех или иных спец. классах.
Важную роль в теории С. г. п. играют идеи, связанные с последовательным анализом.