СТЬЮ́ДЕНТА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СТЬЮ́ДЕНТА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ($t$-распределение) с $n$ степенями свободы, распределение вероятностей случайной величины $T$, плотность которого$$s_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n\pi}} \frac{ Γ \left( \frac{n+1}{2} \right) } {Γ \left( \frac{n}{2} \right)} \left( 1 + \frac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}},$$ $$_{-\infty < x < \infty},$$где $Γ$ – гамма-функция. При $n=1$ С. р. совпадает с Коши распределением, при $n→∞$ аппроксимируется стандартным нормальным распределением. Плотность С. р. одновершинна и симметрична относительно точки $x=0$. Математич. ожидание равно нулю при $n > 1$, дисперсия равна $n/(n-2)$ при $n > 2$, моменты порядка $r$ конечны при $r < n$.
С. р. можно определить как распределение отношения $T=X/Y$ независимых случайных величин $X$ и $Y$, где $X$ имеет стандартное нормальное распределение, а $nY^2$ имеет хи-квадрат распределение с $n$ степенями свободы. Важная роль С. р. в математич. статистике объясняется следующим фактом: если случайные величины $X_1$, $...$, $X_n$ независимы и имеют нормальное распределение с параметрами $a$ и $σ^2$, то при любых действительных $a$ и $σ > 0$ величина$$t=\sqrt{n}(\overline{X}- a)/s,$$где$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j,\\ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X})^2, $$имеет С. р. с $n-1$ степенями свободы. Это свойство было впервые использовано англ. математиком У. Госсетом (который публиковал свои работы под псевд. Стьюдент) в 1908 для построения критерия проверки гипотезы о том, что математич. ожидание $a$ нормального распределения равно заданному числу $a_0$ в случае, когда дисперсия неизвестна (см. Статистических гипотез проверка). В условиях этой задачи С. р. используется также для построения доверительного интервала для неизвестного значения $a$. С. р. используется и в других задачах обработки статистич. данных.